% 例題I2.1.11：「すべて」「ある」の否定 （One More）★★★
次の命題の否定を述べよ.また,もとの命題とその否定の真偽を答えよ. (1)すべての実数$x$について,$x^2>0$(2)ある自然数$n$について,$n^2=2n$(3)任意の実数$x,y$について,$x^2-2xy+y^2>0$
% 解答（例題I2.1.11）
(1)否定は,「ある実数$x$について,$x^2 \leqq 0$」 これは,$x=0$のとき,$x^2=0$よって,真である. また,もとの命題は$x=0$のとき,$x^2=0$であるから,$x^2>0$は成り立たない. よって,偽である. (2)否定は,「すべての自然数$n$について,$n^2 \neq 2n$」 これは,$n=2$のとき,$n^2=2n$であるから,$n^2 \neq 2n$は成り立たない. よって,偽である. また,もとの命題は$n=2$のとき,$n^2=2n$であるから,真である. (3)否定は,「ある実数$x,y$について,$x^2-2xy+y^2 \leqq 0$」 これは,$x=y=0$のとき,$x^2-2xy+y^2=0$よって,真である. また,もとの命題は$x=y=1$とすると,$x^2-2xy+y^2=1^2-2 \cdot 1 \cdot 1+1^2=0$よって,偽である.
% 問題I2.1.11
次の命題の否定を述べよ.また,もとの命題とその否定の真偽を答えよ. (1)ある整数$k$について,$k^2=3k$(2)任意の実数$x,y$について,$(x+y)^2>x^2+y^2$
% 解答I2.1.11
(1)否定は,「すべての整数$k$について,$k^2 \neq 3k$」 これは,$k=3$のとき,$k^2=3k$であるから,$k^2 \neq 3k$は成り立たない. よって,否定は偽である. また,もとの命題は$k=3$のとき,$k^2=3k$であるから,真である. (2)否定は,「ある実数$x,y$について,$(x+y)^2 \leqq x^2+y^2$」 これは,$x=0,y=0$のとき,$(x+y)^2=x^2+y^2=0$よって,否定は真である. また,もとの命題は,$x=1,y=-1$とすると,$(x+y)^2=(1-1)^2=0$であり,$x^2+y^2=2$である. よって,偽である.
