% 例題I2.1.15：背理法を用いた証明1 （One More）★★
(1)$\sqrt{2}$は無理数であることを証明せよ. (2)$\sqrt{2}$は無理数であることを用いて,$\sqrt{2}+1$が無理数であることを証明せよ.
% 解答（例題I2.1.15）
(1)$\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると,$$\sqrt{2}=\frac{m}{n}(m \text{ と } n \text{ は互いに素な自然数})$$と表される. このとき,$\sqrt{2}n=m$両辺を2乗すると,$2n^2=m^2 \cdots (\mathrm{i})$$2n^2$は2の倍数であるから,$m^2$も2の倍数である. したがって,$m$は2の倍数となる.$m=2 k$$(k \text{ は整数})$とおくと,(i)より$2 n^2=(2 k)^2$すなわち,$n^2=2 k^2$$2k^2$は2の倍数であるから,$n^2$は2の倍数である. したがって,$n$は2の倍数となる. ゆえに,$m,n$はともに2の倍数となり,互いに素であることに矛盾する. よって,$\sqrt{2}$は無理数である.$\blacksquare$(2)$\sqrt{2}+1$が有理数であると仮定すると,$$\sqrt{2}+1=r(r \text{ は有理数})$$と表される. 整理すると,$\sqrt{2}=r-1$$r-1$は有理数であるから,$\sqrt{2}$も有理数となる. これは,$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾する. よって,$\sqrt{2}+1$は無理数である.$\blacksquare$
% 問題I2.1.15
(1)$\sqrt{3}$は無理数であることを証明せよ. (2)$\sqrt{3}$は無理数であることを用いて,$\sqrt{3}-1$が無理数であることを証明せよ.
% 解答I2.1.15
(1)$\sqrt{3}$が有理数であると仮定すると,$$\sqrt{3}=\frac{m}{n}(m \text{ と } n \text{ は互いに素な自然数})$$と表される. このとき,$\sqrt{3}n=m$両辺を2乗すると,$3n^2=m^2 \cdots (\mathrm{i})$$3n^2$は3の倍数であるから,$m^2$も3の倍数である. したがって,$m$は3の倍数となる.$m=3 k$$(k \text{ は整数})$とおくと,(i)より$3 n^2=(3 k)^2$すなわち,$n^2=3 k^2$$3k^2$は3の倍数であるから,$n^2$は3の倍数である. したがって,$n$は3の倍数となる. ゆえに,$m,n$はともに3の倍数となり,互いに素であることに矛盾する. よって,$\sqrt{3}$は無理数である.$\blacksquare$(2)$\sqrt{3}-1$が有理数であると仮定すると,$$\sqrt{3}-1=r(r \text{ は有理数})$$と表される. 整理すると,$\sqrt{3}=r+1$$r+1$は有理数であるから,$\sqrt{3}$も有理数となる. これは,$\sqrt{3}$が無理数であることに矛盾する. よって,$\sqrt{3}-1$は無理数である.$\blacksquare$
