% 例題I2.1.16：背理法を用いた証明2 （One More）★★★
$a,b$を有理数とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$\sqrt{2}$が無理数であることを用いてもよい. (1)$a+b\sqrt{2}=0$ならば,$a=0$かつ$b=0$であることを証明せよ. (2)$a(3+\sqrt{2})+b(4-\sqrt{2})=6+2\sqrt{2}$を満たす$a,b$の値を求めよ.
% 解答（例題I2.1.16）
(1)$b \neq 0$と仮定する.$a+b\sqrt{2}=0$より,$\sqrt{2}=-\frac{a}{b}$ここで,$a,b$は有理数より,$-\frac{a}{b}$も有理数となるが,これは$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾する. したがって,$b=0$である. これを$a+b\sqrt{2}=0$に代入すると,$a=0$よって,$a,b$が有理数のとき,$a+b\sqrt{2}=0$ならば,$a=0$かつ$b=0$である.$\blacksquare$(2)$a(3+\sqrt{2})+b(4-\sqrt{2})=6+2\sqrt{2}$を整理すると,$$(3a+4b-6)+(a-b-2)\sqrt{2}=0$$$a,b$が有理数より,$3a+4b-6,a-b-2$は有理数となる. したがって,(1)より,$$\begin{cases} 3a+4b-6=0 \\ a-b-2=0 \end{cases}$$よって,これを解いて,$a=2,b=0$
% 問題I2.1.16
$a,b$を有理数とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$\sqrt{3}$が無理数であることを用いてもよい. (1)$a+b\sqrt{3}=0$ならば,$a=0$かつ$b=0$であることを証明せよ. (2)$a(2+\sqrt{3})+b(5-\sqrt{3})=13+3\sqrt{3}$を満たす$a,b$の値を求めよ.
% 解答I2.1.16
(1)$b \neq 0$と仮定する.$a+b\sqrt{3}=0$より,$\sqrt{3}=-\frac{a}{b}$ここで,$a,b$は有理数より,$-\frac{a}{b}$も有理数であるが,これは$\sqrt{3}$が無理数であることに矛盾する. したがって,$b=0$である. これを$a+b\sqrt{3}=0$に代入すると,$a=0$よって,$a,b$が有理数のとき,$a+b\sqrt{3}=0$ならば,$a=0$かつ$b=0$である.$\blacksquare$(2)$a(2+\sqrt{3})+b(5-\sqrt{3})=13+3\sqrt{3}$を整理すると,$$(2a+5b-13)+(a-b-3)\sqrt{3}=0$$$a,b$が有理数より,$2a+5b-13,a-b-3$は有理数である. したがって,(1)より,$$\begin{cases} 2a+5b-13=0 \\ a-b-3=0 \end{cases}$$よって,これを解いて,$a=4,b=1$
