問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題I3.1.3：値域から1次関数の係数決定（One More）★
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関数$y=ax+b(1\leqq x\leqq 4)$の最大値が10，最小値が4のとき，定数$a,b$の値を求めよ．
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% 例題I3.1.3の解答（One More）★
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(i) $a>0$のとき
グラフは右の図のようになり，
$x=1$のとき，最小値4，
$x=4$のとき，最大値10
をとるから，
\[
\{\begin{array}{l}a\cdot 1+b=4\\a\cdot 4+b=10\end{array}
\]
したがって，$a=2,b=2$
これは，$a>0$を満たす．
(ii) $a=0$のとき
$y=b$（定数関数）となり，最大値と最小値は一致するので，不適である．
(iii) $a<0$のとき
グラフは右の図のようになり，
$x=1$のとき，最大値10，
$x=4$のとき，最小値4
をとるから，
\[
\{
\begin{array}{l}
a\cdot 1+b=10\\
a\cdot 4+b=4
\end{array}
\]
したがって，$a=-2,b=12$
これは，$a<0$を満たす．
よって，(i)〜(iii)より，求める$a,b$の値は，$(a,b)=(2,2),(-2,12)$
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% 問題I3.1.3：値域から1次関数の係数決定（One More）★
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関数$y=ax+b(-1\leqq x\leqq 3)$の最大値が8，最小値が2のとき，定数$a,b$の値を求めよ．
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% 問題I3.1.3の解答（One More）★
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(i) $a>0$のとき
グラフは右の図のようになり，
$x=-1$のとき，最小値2
$x=3$のとき，最大値8
をとるから，
\[
\{\begin{array}{l}-a+b=2\\3a+b=8\end{array}
\]
したがって，$a=\frac{3}{2},b=\frac{7}{2}$
これは，$a>0$を満たす．
(ii) $a=0$のとき
$y=b$（定数関数）となり，最大値と最小値は一致するので，不適である．
(iii) $a<0$のとき
グラフは右の図のようになり，
$x=-1$のとき，最大値8
$x=3$のとき，最小値2
をとるから，
\[
\{
\begin{array}{l}
-a+b=8\\
3a+b=2
\end{array}
\]
したがって，$a=-\frac{3}{2},b=\frac{13}{2}$
これは，$a<0$を満たす．
よって，(i)〜(iii)より，求める$a,b$の値は，$(a,b)=(\frac{3}{2},\frac{7}{2}),(-\frac{3}{2},\frac{13}{2})$
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