% 例題I3.2.4：定義域が拡大するときの最大・最小 （One More）★★★
$a>0$とする.関数$f(x)=x^2-4 x+6(0 \leqq x \leqq a)$について,$f(x)$の最大値を求めよ.
% 解答（例題I3.2.4）
$$f(x)=x^2-4 x+6 =(x-2)^2+2$$$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線$x=2$(i)$0<a<4$のとき グラフは右の図のようになる.$x=0$のとき最大となり,最大値$f(0)=6$(ii)$a=4$のとき グラフは右の図のようになる.$x=0,4$のとき最大となり, 最大値$f(0)=f(4)=6$(iii)$4<a$のとき グラフは右の図のようになる.$x=a$のとき最大となり,最大値$f(a)=a^2-4 a+6$よって,(i)〜(iii)より,$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{ll} 0<a<4 \text{ のとき,}& x=0 \text{ で最大値 } 6\\ a=4 \text{ のとき,}& x=0,4 \text{ で最大値 } 6\\ 4<a \text{ のとき,}& x=a \text{ で最大値 } a^2-4 a+6 \end{array}\right. \end{aligned}$$
% 問題I3.2.4
(1)$a>0$とする.関数$f(x)=x^2-4 x+6(0 \leqq x \leqq a)$について,$f(x)$の最小値を求めよ. (2)$a>0$とする.関数$f(x)=-x^2+6x-8 (0 \leqq x \leqq a)$について,$f(x)$の最小値を求めよ.
% 解答I3.2.4
(1)$f(x)=x^2-4 x+6 =(x-2)^2+2$$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線$x=2$(i)$0<a<2$のとき グラフは右の図のようになる.$x=a$のとき最小となり,最小値$f(a)=a^2-4a+6$(ii)$2 \leqq a$のとき グラフは右の図のようになる.$x=2$のとき最小となり, 最小値$f(2)=2$よって,(i),(ii)より,$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{ll} 0<a<2 \text{ のとき,}& x=a \text{ で最小値 } a^2-4a+6\\ 2 \leqq a \text{ のとき,}& x=2 \text{ で最小値 } 2 \end{array}\right. \end{aligned}$$(2)$f(x)=-x^2+6x-8=-(x-3)^2+1$$y=f(x)$のグラフは上に凸の放物線で,軸は直線$x=3$. (i)$0<a<6$のとき グラフは右の図のようになる.$x=0$のとき最小となり,最小値$f(0)=-8$(ii)$a=6$のとき グラフは右の図のようになる.$x=0,6$のとき最小となり,最小値$f(0)=f(6)=-8$(iii)$6<a$のとき グラフは右の図のようになる.$x=a$のとき最小となり,最小値$f(a)=-a^2+6a-8$よって,(i)〜(iii)より,$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{ll} 0<a<6 \text{ のとき,}& x=0 \text{ で最小値 } -8\\ a=6 \text{ のとき,}& x=0,6 \text{ で最小値 } -8\\ 6<a \text{ のとき,}& x=a \text{ で最小値 } -a^2+6a-8 \end{array}\right. \end{aligned}$$
