% 節末I1.1.1★
ある多項式に$5x^2-3x+1$を加えるところを誤って引いたので,答えが$-3x^2+12x-5$になった.正しい答えを求めよ.
% 節末I1.1.2★★
$\left(x^3-4x^2+2x+3\right)\left(x^3+x^2-x+2\right)$の展開式において,$x^5$と$x^3$の係数を求めよ.
% 節末I1.1.3★★
次の式を展開せよ. (1)$\left(x^3+x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+x-1\right)$ (2)$(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$
% 節末I1.1.4★★
次の式を因数分解せよ. (1)$x^2y+2xy^2+x^2+4y^2+3xy+x+2y-2$ (2)$(x+y)^4-(x-y)^4$ (3)$(x+y)^3+z^3$ (4)$x^6-1$ (5)$a^6-7 a^3-8$ (6)$\left(x^2+6 x+3\right)\left(x^2+6 x+7\right)+4$
% 節末I1.1.5★★★
次の式を因数分解せよ. (1)$(x-z)^3+(y-z)^3-(x+y-2 z)^3$ (2)$4 x^4+7 x^2y^2+16y^4$
% 節末I1.2.1★
循環小数の積$0 . \dot{1} \dot{5} \times 0 . \dot{5} \dot{4} $を,1つの既約分数で表せ.
% 節末I1.2.2★★
$\frac{3}{4}<x<\frac{5}{6}$のとき,$\sqrt{16 x^2-24 x+9}-\sqrt{x^2+6 x+9}+\sqrt{36 x^2-60 x+25}$を簡単にせよ.
% 節末I1.2.3★★
次の式を計算せよ. $$S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$
% 節末I1.2.4★★
次の式の分母を有理化して計算せよ. $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$
% 節末I1.2.5★★
次の式を簡単な形にせよ. $$\sqrt{4+4 \sqrt{4+2 \sqrt{3}}}$$
% 節末I1.2.6★★★
実数$a, b, c$が$a+b+c=3, a^2+b^2+c^2=14, abc=-2$を満たすとき,$(a+b)(b+c)(c+a)$の値を求めよ.
% 節末I1.2.7★★★
$\frac{1}{4-\sqrt{11}}$の整数部分を$a$,小数部分を$b$とし,$10 b$の整数部分を$c$,小数部分を$d$とするとき,次の値を求めよ. (1)$a$ (2)$10 b$ (3)$c$ (4)$d$
% 節末I1.3.1★★
連立不等式$\left\{\begin{array}{l}x>4a-3 \\ 3x-2>8(x-1)\end{array}\right.$の解について,次の条件を満たす定数$a$の値の範囲を求めよ. (1)解に0が含まれる. (2)解に含まれる整数がちょうど4個存在する.
% 節末I1.3.2★★
整数$x$は4の倍数であり,$x$を15で割ったところ,割り切れなかった.そこで$\frac{x}{15}$を計算し,その小数第1位を四捨五入したところ,$4$になった.このとき,整数$x$をすべて求めよ.
% 節末I1.3.3★★
(1)駅から自宅までの道のりは30kmである.この道のりを,初めは時速5kmで歩き,途中からは時速10kmで走ると,掛かった時間は5時間以内であった.時速5kmで歩いた道のりはどれほどであるか. (2)$7 \%$の食塩水と$10 \%$の食塩水がある.$7 \%$の食塩水500gと$10 \%$の食塩水を何gか混ぜ合わせて,$8 \%$以上$8.5 \%$以下の食塩水を作りたい.$10 \%$の食塩水を何g以上何g以下混ぜればよいか.
% 節末I1.3.4★★★
次の不等式を解け.ただし,$a, b$は定数とする. (1)$a x>b$ (2)$(a+b)x \leqq a^2-b^2$
% 節末I1.3.5★★★
次の方程式を解け. (1)$\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}=6$ (2)$x^2+|x+3|+|x-2|=6$
% 節末I1.3.6★★★
次の方程式,不等式を解け. (1)$|2x-3|<3x$ (2)$|x-3|+|x-5| \leqq 5$ (3)$||x-2|+4|=3x$
% 章末I1.1★★
次の式を展開せよ. $$(x+y+z)^2-(y+z-x)^2+(z+x-y)^2-(x+y-z)^2$$
% 章末I1.2★★★★
次の式を因数分解せよ. (1)$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$ (2)$a^4+b^4+c^4-2 a^2 b^2-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2$
% 章末I1.3★★★
$x+y+z=0$のとき,$x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$の値を求めよ.
% 章末I1.4★★★
不等式$|a x+2| \leqq b$の解が$-2 \leqq x \leqq 4$のとき$a, b$の値を求めよ.
% 章末I1.5★★
$x=2a-1$のとき,$\sqrt{x^2+8a}+\sqrt{a^2-x}$を簡単にせよ.
% 解答（節末）I1.1.1
多項式を$P$とおくと, $ P-\left(5 x^2-3 x+1\right)=-3 x^2+12 x-5 $ したがって, $ P=-3 x^2+12 x-5+\left(5 x^2-3 x+1\right) =2 x^2+9 x-4 $ よって,正しい答えは, $$ \begin{aligned} P+\left(5 x^2-3 x+1\right)&=2 x^2+9 x-4+5 x^2-3 x+1 \\ &=7 x^2+6 x-3 \end{aligned} $$
% 解答（節末）I1.1.2
$x^5$の項を計算すると, $x^3 \cdot x^2+(-4x^2)\cdot x^3=(1-4)x^5 =-3x^5$ よって,$x^5$の係数は$-3$ $x^3$の項を計算すると, $$ x^3 \cdot 2+(-4x^2)\cdot(-x)+(2x)\cdot x^2+3 \cdot x^3=11x^3 $$ よって,$x^3$の係数は$11$
% 解答（節末）I1.1.3
(1) $\begin{aligned} & \left(x^3+x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+x-1\right)\\ =& \left\{\left(x^3+x\right)+\left(x^2+1\right)\right\}\left\{\left(x^3+x\right)-\left(x^2+1\right)\right\} \\ =& \left(x^3+x\right)^2-\left(x^2+1\right)^2 \\ =& \left(x^6+2x^4+x^2\right)-\left(x^4+2x^2+1\right)\\ =& x^6+2x^4+x^2-x^4-2x^2-1 \\ =& x^6+x^4-x^2-1 \end{aligned}$ (2) $\begin{aligned} &(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\\ =& \{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\} \times\{a-(b-c)\}\{a+(b-c)\} \\ =& \left\{(b+c)^2-a^2\right\}\left\{a^2-(b-c)^2\right\} \\ =&-a^4+\left\{(b+c)^2+(b-c)^2\right\} a^2-(b+c)^2(b-c)^2 \\ =&-a^4+2\left(b^2+c^2\right)a^2-\left(b^2-c^2\right)^2 \\ =&-a^4+2 a^2 b^2+2 c^2 a^2-b^4+2 b^2 c^2-c^4 \\ =&-a^4-b^4-c^4+2 a^2 b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2 \end{aligned}$
% 解答（節末）I1.1.4
(1) $\begin{aligned} & x^2 y+2 x y^2+x^2+4 y^2+3x y+x+2 y-2 \\ =&(y+1)x^2+\left(2 y^2+3y+1\right)x+4 y^2+2 y-2 \\ =&(y+1)x^2+(y+1)(2 y+1)x+2(y+1)(2y-1)\\ =&(y+1)\left\{x^2+(2 y+1)x+2(2 y-1)\right\} \\ =&(y+1)(x+2)\{x+(2 y-1)\} \\ =&(x+2)(y+1)(x+2 y-1)\end{aligned}$ (2) $\begin{aligned} &(x+y)^4-(x-y)^4 \\=& \left\{(x+y)^2+(x-y)^2\right\}\left\{(x+y)^2-(x-y)^2\right\} \\=& \left(x^2+2 x y+y^2+x^2-2 x y+y^2\right)\\ & \times\{(x+y)+(x-y)\}\{(x+y)-(x-y)\} \\=& \left(2 x^2+2 y^2\right)(2 x)(2 y)=8 x y\left(x^2+y^2\right)\end{aligned}$ (3) $\begin{aligned}(x+y)^3+z^3 &=\{(x+y)+z\}\left\{(x+y)^2-(x+y)\cdot z+z^2\right\} \\ &=(x+y+z)\left(x^2+2 x y+y^2-xz-yz+z^2\right)\end{aligned}$ (4) $\begin{aligned} x^6-1 &=\left(x^3\right)^2-1^2 \\ &=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)\\ &=(x-1)\left(x^2+x+1\right)(x+1)\left(x^2-x+1\right)\end{aligned}$ (5) $\begin{aligned} & a^6-7 a^3-8 \\=& \left(a^3+1\right)\left(a^3-8\right)\\=&(a+1)\left(a^2-a+1\right)(a-2)\left(a^2+2 a+4\right)\\=&(a+1)(a-2)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+2 a+4\right)\end{aligned}$ (6) $\begin{aligned}&\left(x^2+6 x+3\right)\left(x^2+6 x+7\right)+4 \\=& \left\{\left(x^2+6 x\right)+3\right\}\left\{\left(x^2+6 x\right)+7\right\}+4 \\=& \left(x^2+6 x\right)^2+10\left(x^2+6 x\right)+25=\left(x^2+6 x+5\right)^2 \\=& \{(x+1)(x+5)\}^2=(x+1)^2(x+5)^2 \end{aligned}$
% 解答（節末）I1.1.5
(1) $\begin{aligned} &(x-z)^3+(y-z)^3-(x+y-2 z)^3 \\ &=(x-z)^3+(y-z)^3+(-x-y+2 z)^3 \end{aligned}$ $x-z=a, y-z=b,-x-y+2 z=c$とおくと, $a+b+c=0$より, $$\begin{aligned} &(x-z)^3+(y-z)^3+(-x-y+2 z)^3=a^3+b^3+c^3 \\ &=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\\ &=3abc\\ &=3(x-z)(y-z)(-x-y+2z)\\ &=3(y-z)(z-x)(x+y-2 z)\end{aligned}$$ (2) $\begin{aligned} 4 x^4+7 x^2y^2+16y^4 &=\left(4 x^4+16 x^2y^2+16y^4\right)-9 x^2y^2 \\ &=4\left(x^4+4 x^2y^2+4y^4\right)-(3 xy)^2 \\ &=4\left(x^2+2y^2\right)^2-(3 xy)^2 \\ &=\left\{2\left(x^2+2y^2\right)+3 xy\right\}\left\{2\left(x^2+2y^2\right)-3 xy\right\} \\ &=\left(2 x^2+3 xy+4y^2\right)\left(2 x^2-3 xy+4y^2\right) \end{aligned}$
% 解答（節末）I1.2.1
$x=0 . \dot{1} \dot{5}$とおくと,$100 x=15.1515 \ldots$ したがって,$100x-x=15$ これより,$x=\frac{15}{99}=\frac{5}{33}$ また,$y=0.\dot{5} \dot{4} \ldots$とおくと$100 y=54.5454\ldots$ したがって,$100 y-y=54$ これより,$y=\frac{54}{99}=\frac{6}{11}$ よって, $$ 0 . \dot{1} \dot{5} \times 0 . \dot{5} \dot{4}=x y=\frac{5}{33} \cdot \frac{6}{11}=\frac{30}{363}=\frac{10}{121}$$
% 解答（節末）I1.2.2
$$\begin{aligned} & \sqrt{16 x^2-24 x+9}-\sqrt{x^2+6 x+9}+\sqrt{36 x^2-60 x+25} \\ =& \sqrt{(4 x-3)^2}-\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{(6x-5)^2} \end{aligned}$$ $\frac{3}{4}<x<\frac{5}{6}$のとき,$4 x-3>0, x+3>0, 6x-5<0$であるから, $$\begin{aligned} &\sqrt{16 x^2-24 x+9}-\sqrt{x^2+6 x+9}+\sqrt{36 x^2-60 x+25}\\ =&(4 x-3)-(x+3)+\{-(6x-5)\} \\ =&-3x-1 \end{aligned}$$
% 解答（節末）I1.2.3
与えられた式の各項を有理化すると, $$ S=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}) $$ となり,途中の項が打ち消し合うから, $$ S=-\sqrt{1}+\sqrt{100} $$ よって, $$ S=\sqrt{100}-\sqrt{1} =10-1=9 $$
% 解答（節末）I1.2.4
$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}} \\=& \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}} \\ &+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\{(\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{5}\}} \\=& \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} \\=& \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2 \sqrt{6}} \\=& \frac{2 \sqrt{3}-2 \sqrt{5}}{2 \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}} =\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})\sqrt{6}}{6}=\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{30}}{6}\end{aligned}$$ 別解： $\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})+(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})} \\=& \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\frac{2 \sqrt{2}}{-6-2 \sqrt{15}} \\=&-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}+3}=-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{15}-3)}{(\sqrt{15}+3)(\sqrt{15}-3)}=\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{30}}{6}\end{aligned}$
% 解答（節末）I1.2.5
$$ \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(3+1)+2 \sqrt{3 \times 1}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3}+1 $$ よって, $$ \begin{aligned} \sqrt{4+4 \sqrt{4+2 \sqrt{3}}} &=\sqrt{4+4(\sqrt{3}+1)} \\ &=\sqrt{4+4\sqrt{3}+4} \\ &=\sqrt{8+4\sqrt{3}} \\ &=\sqrt{(6+2)+2\sqrt{6\times 2}} \\ &=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2} \\ &=\sqrt{6}+\sqrt{2} \end{aligned} $$
% 解答（節末）I1.2.6
$a+b+c=3\cdots(\mathrm{i})$より, $$ \begin{aligned} (a+b)(b+c)(c+a)&=(3-c)(3-a)(3-b)\\ &=27-9a-9b-9c+3ab+3bc+3ca-abc \\ &=27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-abc\cdots(\mathrm{ii}) \end{aligned} $$ また,$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$より, $$ \begin{aligned} ab+bc+ca &=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2} \\ &=\frac{3^2-14}{2}=\frac{9-14}{2}=-\frac{5}{2}\cdots(\mathrm{iii}) \end{aligned} $$ よって,$abc=-2$,(i),(iii)を(ii)に代入すると, $$ (a+b)(b+c)(c+a)=27-9 \cdot 3+3 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)-(-2) =-\frac{11}{2} $$
% 解答（節末）I1.2.7
(1) $$ \frac{1}{4-\sqrt{11}}=\frac{4+\sqrt{11}}{(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})}=\frac{4+\sqrt{11}}{5} $$ $3<\sqrt{11}<4$であるから,$7<4+\sqrt{11}<8$ したがって,$\frac{7}{5}<\frac{4+\sqrt{11}}{5}<\frac{8}{5}$ よって,$a=1$ (2)$a+b=\frac{4+\sqrt{11}}{5} $であるから, $$ b=\frac{4+\sqrt{11}}{5}-a=\frac{4+\sqrt{11}}{5}-1=\frac{-1+\sqrt{11}}{5} $$ よって, $ 10 b=10 \cdot \frac{-1+\sqrt{11}}{5} =2(-1+\sqrt{11})=-2+2 \sqrt{11} $ (3)(2)より,$10 b=-2+2 \sqrt{11}=2\sqrt{11}-2$ ここで,$6<2\sqrt{11}<7$であるから,$ 4<2\sqrt{11}-2<5$ よって,$c=4$ (4)$10 b=c+d$より,$ c+d=2\sqrt{11}-2 $ よって, $ d=(2\sqrt{11}-2)-c=(2\sqrt{11}-2)-4 =2\sqrt{11}-6 $
% 解答（節末）I1.3.1
$x>4a-3\cdots(\mathrm{i})$とする. $3x-2>8(x-1)$より,$3x-2>8x-8$ よって,$x<\frac{6}{5} \cdots(\mathrm{ii})$ (1)$x=0$は(ii)に含まれるから,$x=0$が(i)の解に含まれる範囲を考える. このとき,$4a-3<0$ よって,$a<\frac{3}{4}$ (2)(i),(ii)を同時に満たす整数が存在するから,(i)と(ii)に共通範囲があり, $$4a-3<x<\frac{6}{5}$$ $\frac{6}{5}=1.2$であるから,(i),(ii)より,不等式を満たす整数がちょうど4個となるのは右の図の場合である. したがって,$-3 \leqq 4a-3<-2$ ゆえに,$0 \leqq 4a<1$ よって,$0 \leqq a<\frac{1}{4}$
% 解答（節末）I1.3.2
$\frac{x}{15}$の小数第1位を四捨五入すると$4$となることから, $$ 3.5 \leqq \frac{x}{15}<4.5 $$ 各辺を15倍すると,$52.5 \leqq x<67.5$ よって,この範囲にある$15$で割り切れない$4$の倍数を求めると, $$ x=56, 64 $$
% 解答（節末）I1.3.3
(1) 時速5kmで歩いた道のりを$x \mathrm{~km}$とすると,歩いた時間は,$\frac{x}{5}$（時間） また,時速10kmで走った道のりを$(30-x)\mathrm{~km}$とすると,走った時間は,$\frac{30-x}{10}$（時間） これらを合わせて5時間以内であるから, $$ \frac{x}{5}+\frac{30-x}{10} \leqq 5 $$ 両辺に10を掛けると, $$ \begin{aligned} 2x+30-x & \leqq 50 \\ x & \leqq 20 \end{aligned} $$ よって,時速5kmで歩いた道のりは,20km以下である. (2)$10 \%$の食塩水を$x \mathrm{~g}$混ぜるとする. $7 \%$の食塩水500gに含まれる食塩の量は,$500 \times 0.07=35(\mathrm{g})$ $10 \%$の食塩水$x \mathrm{~g}$に含まれる食塩の量は,$0.10 x(\mathrm{g})$ $7 \%$の食塩水500gに$10 \%$の食塩水を$x \mathrm{~g}$混ぜると,食塩水の量は$(500+x)\mathrm{~g}$となるから,その濃度が$8 \%$以上$8.5 \%$以下になるための条件は, $$ 8 \leqq \frac{35+0.10 x}{500+x} \times 100 \leqq 8.5 $$ 各辺に$500+x$を掛けて, $$ 8(500+x) \leqq 3500+10x \leqq 8.5(500+x) $$ ゆえに,$4000+8x \leqq 3500+10x \leqq 4250+8.5x$ $4000+8x \leqq 3500+10x$より,$ 2x \geqq 500$ すなわち,$x \geqq 250\cdots(\mathrm{i})$ $3500+10x \leqq 4250+8.5x$より,$1.5x \leqq 750$ すなわち,$x \leqq 500\cdots(\mathrm{ii})$ (i),(ii)より,$250 \leqq x \leqq 500$ よって,$10 \%$の食塩水を250g以上500g以下だけ混ぜればよい.
% 解答（節末）I1.3.4
(1) (i)$a>0$のとき 両辺を$a$で割ると, $ x>\frac{b}{a} $ (ii) $a=0$のとき $0 \cdot x>b$となるから, \qquad（ア） $b<0$のとき,解はすべての実数 \qquad（イ） $b \geqq 0$のとき,解なし (iii) $a<0$のとき 両辺を$a$で割ると $ x<\frac{b}{a} $ よって,(i)〜(iii)より,求める解は, $$ \begin{cases} a>0 \text { のとき, } & x>\frac{b}{a} \\ a=0 \text { のとき, } & b<0 \text { ならば解はすべての実数 } \\ & b \geqq 0 \text { ならば解なし } \\ a<0 \text { のとき, } & x<\frac{b}{a} \end{cases}$$ (2)$(a+b)x \leqq a^2-b^2$より,$(a+b)x \leqq (a+b)(a-b)$ (i)$a+b>0$のとき 両辺を$a+b$で割ると$x \leqq a-b$ (ii)$a+b=0$のとき 不等式は,$0 \cdot x \leqq 0$となり,$x$の値に関わらず成り立つ. したがって,解はすべての実数 (iii)$a+b<0$のとき 両辺を$a+b$で割ると$ x \geqq a-b$ よって,(i)〜(iii)より,求める解は, $$\begin{cases} a+b>0 \text { のとき, } & x \leqq a-b \\ a+b=0 \text { のとき, } & \text {解はすべての実数 } \\ a+b<0 \text { のとき, } & x \geqq a-b \end{cases}$$
% 解答（節末）I1.3.5
(1)方程式の左辺を変形すると, $\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2}=6$ すなわち,$|x-1|+|x-3|=6$ (i)$x \geqq 3$のとき $(x-1)+(x-3)=6$より,$x=5 $ これは$x \geqq 3$を満たす. (ii) $1 \leqq x<3$のとき $$ (x-1)-(x-3)=6 $$ これは,$2=6$となり,不適である. (iii) $x<1$のとき $-(x-1)-(x-3)=6$より,$x=-1$ これは$x<1$を満たす. よって,(i)〜(iii)より,$x=5,-1$ (2) (i)$2 \leqq x$のとき $ x^2+(x+3)+(x-2)=6 $より,$x^2+2x-5=0$ これを解くと,$x=-1\pm \sqrt{6}$ これらのうち,$2 \leqq x$を満たすものはない. (ii)$-3 \leqq x<2$のとき $ x^2+(x+3)-(x-2)=6 $ より,$x^2=1$ これを解くと,$x=1,-1$ これらは,$-3 \leqq x<2$を満たす. (iii)$x<-3$のとき $ x^2-(x+3)-(x-2)=6 $ より,$x^2-2x-7=0$ これを解くと,$x=1\pm 2\sqrt{2}$ これらのうち,$x<-3$を満たすものはない. よって,(i)〜(iii)から,求める解は$x=1,-1$
% 解答（節末）I1.3.6
(1) (i)$2x-3 \geqq 0$,すなわち,$x \geqq \frac{3}{2}$のとき $ 2x-3<3x$より,$x>-3$ したがって,$x \geqq \frac{3}{2}$より,$\frac{3}{2} \leqq x$ (ii)$2x-3<0$,すなわち,$x<\frac{3}{2}$のとき $ -(2x-3)<3x$より,$ 5x>3$ したがって,$x>\frac{3}{5}$ ゆえに,$x<\frac{3}{2}$より,$\frac{3}{5}<x<\frac{3}{2}$ よって,(i),(ii)より,$\frac{3}{5}<x$ (2) (i)$x \geqq 5$のとき $ (x-3)+(x-5) \leqq 5 $ より,$x \leqq \frac{13}{2}$ したがって,$x \geqq 5$より,$5 \leqq x \leqq \frac{13}{2}$ (ii)$3 \leqq x<5$のとき $ (x-3)-(x-5) \leqq 5 $ より,$2 \leqq 5$となり,これは成り立っている. したがって,$3 \leqq x<5$ (iii)$x<3$のとき $ -(x-3)-(x-5) \leqq 5 $ より,$x \geqq \frac{3}{2}$ したがって,$x<3$より,$\frac{3}{2} \leqq x<3$ よって,(i)〜(iii)より,$\frac{3}{2} \leqq x \leqq \frac{13}{2}$ (3)$$ \begin{aligned} || x-2|+4| &=\begin{cases}|x-2+4| &(x \geqq 2)\\ |-(x-2)+4| &(x<2)\end{cases} \\ &=\begin{cases}|x+2| &(x \geqq 2)\\ |-x+6| &(x<2)\end{cases} \\ &=\begin{cases}x+2 &(x \geqq 2)\\ -x+6 &(x<2)\end{cases} \end{aligned} $$ (i)$x \geqq 2$のとき $x+2=3x$より,$x=\frac{2}{2}=1$ これは,$x \geqq 2$を満たさない. (ii)$x<2$のとき $-x+6=3x$より,$6=4x$より,$x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ これは,$x<2$を満たす. よって,(i),(ii)より,$x=\frac{3}{2}$
% 解答（章末）I1.1
$$\begin{aligned} &(x+y+z)^2-(y+z-x)^2+(z+x-y)^2-(x+y-z)^2 \\ =& \{(x+y+z)+(y+z-x)\}\{(x+y+z)-(y+z-x)\} \\ &+\{(z+x-y)+(x+y-z)\}\{(z+x-y)-(x+y-z)\} \\ =& 2(y+z)\cdot 2 x+2 x \cdot 2(z-y)\\ =& 4 x y+4 x z+4 x z-4 x y=8 x z \end{aligned}$$
% 解答（章末）I1.2
(1) $\begin{aligned} & a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\\ =&(b-c)a^3-\left(b^3-c^3\right)a+b c\left(b^2-c^2\right)\\ =&(b-c)\left\{a^3-\left(b^2+b c+c^2\right)a+b c(b+c)\right\} \\ =&(b-c)\left\{(c-a)b^2+c(c-a)b-a\left(c^2-a^2\right)\right\}\\ =&(b-c)(c-a)\left\{b^2+c \cdot b-a(c+a)\right\} \\ =&(b-c)(c-a)\left\{(b-a)c+\left(b^2-a^2\right)\right\} \\ =&(b-c)(c-a)(b-a)\{c+(b+a)\}\\ =&-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\end{aligned}$ (2) $\begin{aligned} & a^4+b^4+c^4-2 a^2 b^2-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2 \\ =& a^4-2\left(b^2+c^2\right)a^2+b^4-2 b^2 c^2+c^4 \\ =& a^4-2\left(b^2+c^2\right)a^2+\left(b^2-c^2\right)^2 \\ =& a^4-2\left(b^2+c^2\right)a^2+\{(b+c)(b-c)\}^2 \\ =& a^4-\left\{(b+c)^2+(b-c)^2\right\} a^2+(b+c)^2(b-c)^2 \\ =& \left\{a^2-(b+c)^2\right\}\left\{a^2-(b-c)^2\right\} \\ =& \{a+(b+c)\}\{a-(b+c)\}\{a+(b-c)\}\{a-(b-c)\} \\ =&(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c) \end{aligned}$
% 解答（章末）I1.3
$x+y+z=0$より,$z=-(x+y)$ これより,与えられた式を$z$について整理すると, $$ \begin{aligned} &x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\ &=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)z+\frac{x+y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \\ &=-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+y)+\frac{x+y}{-(x+y)}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \\ &=-\left(1+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+1\right)-1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-3 \end{aligned} $$ 別解：$x+y+z=0$より,$y+z=-x, z+x=-y, x+y=-z$ よって, $$ \begin{aligned} &x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\ &=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z} \\ &=\frac{-x}{x}+\frac{-y}{y}+\frac{-z}{z}=-3 \end{aligned} $$
% 解答（章末）I1.4
$|a x+2| \leqq b$より,$-b \leqq a x+2 \leqq b$ よって,$-b-2 \leqq a x \leqq b-2$ (i)$a>0$のとき $\frac{-b-2}{a} \leqq x \leqq \frac{b-2}{a}$より,$\frac{-b-2}{a}=-2, \frac{b-2}{a}=4$ これらを解いて,$a=-2, b=-6$ これは,$a>0$を満たさないので不適である. (ii)$a=0$のとき このとき,解は$-2 \leqq x \leqq 4$とはならないので不適である. (iii)$a<0$のとき $\frac{b-2}{a} \leqq x \leqq \frac{-b-2}{a}$より, $\frac{b-2}{a}=-2, \frac{-b-2}{a}=4$ これらを解いて,$a=-2, b=6$ これは,$a<0$を満たす. (i)〜(iii)より,$a=-2, b=6$
% 解答（章末）I1.5
$x=2a-1$を与えられた式に代入すると, $$\begin{aligned} & \sqrt{(2a-1)^2+8a}+\sqrt{a^2-(2a-1)} \\ &=\sqrt{4a^2+4a+1}+\sqrt{a^2-2a+1} \\ &=\sqrt{(2a+1)^2}+\sqrt{(a-1)^2} \\ &=|2a+1|+|a-1| \\ \end{aligned}$$ よって, $$\begin{aligned} |2a+1|+|a-1|&= \begin{cases}(2 a+1)+(a-1)& \left(1 \leqq a\right)\\ (2 a+1)-(a-1)& \left(-\frac{1}{2} \leqq a<1\right)\\ -(2 a+1)-(a-1)&(a<-\frac{1}{2}) \end{cases} \\ &= \begin{cases} 3a & \left(1 \leqq a\right)\\ a+2 & \left(-\frac{1}{2} \leqq a<1\right)\\ -3 a &(a<-\frac{1}{2}) \end{cases} \end{aligned}$$
