% 例題I3.2.13：2次関数の決定3 （One More）★★★
次の条件を満たすような放物線をグラフとする2次関数を求めよ. (1)頂点が$x$軸上にあり,2点$(0,3),(6,27)$を通る. (2)放物線$y=2x^2$を平行移動したもので,点$(1,3)$を通り,頂点が直線$y=-x+1$上にある.
% 解答（例題I3.2.13）
(1)頂点が$x$軸上にあるから,求める2次関数は,$y=a(x-p)^2$と表される. このグラフが2点$(0,3),(6,27)$を通るから,$$a p^2=3 \cdots (\mathrm{i}),a(6-p)^2=27 \cdots (\mathrm{ii})$$(i)$\times 9$と(ii)より,$9 a p^2=a(6-p)^2$$a \neq 0$であるから,$9 p^2=(6-p)^2$したがって,$8p^2+12p-36=0$ゆえに,$(p+3)(2p-3)=0$これを解いて,$p=-3,\frac{3}{2}$(i)より,$p=-3$のとき$a=\frac{1}{3},p=\frac{3}{2}$のとき$a=\frac{4}{3}$よって,求める2次関数は,$y=\frac{1}{3}(x+3)^2,y=\frac{4}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$(2)放物線$y=2x^2$を平行移動したもので,頂点が直線$y=-x+1$上にあるから,頂点の座標を$(p,-p+1)$とすると,求める2次関数は,$y=2(x-p)^2-p+1 \cdots (\mathrm{i})$と表される. この関数のグラフが点$(1,3)$を通るから,$2(1-p)^2-p+1=3$したがって,$2(1-2p+p^2)-p+1=3$ゆえに,$p(2p-5)=0$これを解いて,$p=0,p=\frac{5}{2}$(i)より,$p=0$のとき,$y=2(x-0)^2-0+1=2x^2+1$また,$p=\frac{5}{2}$のとき,$y=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{5}{2}+1=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{3}{2}$よって,求める2次関数は,$y=2x^2+1,y=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{3}{2}$
% 問題I3.2.13
次の条件を満たすような放物線をグラフとする2次関数を求めよ. (1)頂点が$x$軸上にあり,2点$(1,4),(-3,36)$を通る. (2)放物線$y=3x^2$を平行移動したもので,点$(2,9)$を通り,頂点が直線$y=2x-3$上にある.
% 解答I3.2.13
(1)頂点が$x$軸上にあるから,求める2次関数は,$y=a(x-p)^2$と表される. このグラフが2点$(1,4),(-3,36)$を通るから,$$a(1-p)^2=4 \cdots (\mathrm{i}),a(p+3)^2=36 \cdots (\mathrm{ii})$$(i)$\times 9$と(ii)より,$9 a(1-p)^2=a(p+3)^2$$a \neq 0$であるから,$9(1-p)^2=(p+3)^2$したがって,$p^2-3p=0$この方程式を解いて,$p=0,3$(i)より,$p=0$のとき$a=4,p=3$のとき$a=1$よって,求める2次関数は,$y=4x^2,y=(x-3)^2$(2)放物線$y=3x^2$を平行移動したもので,頂点が直線$y=2x-3$上にあるから,頂点の座標を$(p,2p-3)$とすると,求める2次関数は,$y=3(x-p)^2+2p-3 \cdots (\mathrm{i})$と表される. この関数のグラフが点$(2,9)$を通るから,$3(2-p)^2+2p-3=9$したがって,$3(4-4p+p^2)+2p-3=9$ゆえに,$p(3p-10)=0$これを解いて,$p=0,p=\frac{10}{3}$(i)より,$p=0$のとき,$y=3(x-0)^2+2 \cdot 0-3=3x^2-3$また,$p=\frac{10}{3}$のとき,$y=3\left(x-\frac{10}{3}\right)^2+2 \cdot \frac{10}{3}-3=3\left(x-\frac{10}{3}\right)^2+\frac{11}{3}$よって,求める2次関数は,$y=3x^2-3,y=3\left(x-\frac{10}{3}\right)^2+\frac{11}{3}$
