【数学I】例題3.3.6：2次方程式が実数解をもつ条件1（One More）★★

% 例題I3.3.6：2次方程式が実数解をもつ条件1 （One More）★★
次の問いに答えよ.ただし,$k$を定数とする. (1)$x$についての2次方程式$x^2-(k-3)x-3k+1=0$が重解をもつような$k$の値を定めよ.また,そのときの解を求めよ. (2)$x$についての2次方程式$x^2+2k x+k^2-3 k+6=0$の実数解の個数を調べよ.

% 解答（例題I3.3.6）
(1)与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると,$$D =\{-(k-3)\}^2-4 \cdot 1 \cdot (-3k+1)=k^2+6 k+5=(k+5)(k+1)$$2次方程式が重解をもつから,$D=0$したがって,$k=-5,-1$また,重解は,$x=-\frac{-(k-3)}{2 \cdot 1}=\frac{k-3}{2}$よって,$$\begin{alignedat}{2} &k=-5 \text{ のとき,} &&\text{ 解は,} x=-4 \\ &k=-1 \text{ のとき,} &&\text{ 解は,} x=-2 \end{alignedat}$$(2)与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると,$$D =(2k)^2-4 \cdot 1 \cdot (k^2-3 k+6)=12k-24$$よって,実数解の個数は,$k$の値によって次のようになる. \begin{center}$D>0$,すなわち,$k>2$のとき,$2$個$D=0$,すなわち,$k=2$のとき,$1$個$D<0$,すなわち,$k<2$のとき,$0$個 \end{center}

% 問題I3.3.6
次の問いに答えよ.ただし,$k$を定数とする. (1)$x$についての2次方程式$x^2+2kx+3k+10=0$が重解をもつような$k$の値を定めよ.また,そのときの解を求めよ. (2)$x$についての2次方程式$x^2-2k x+k^2+4 k-8=0$の実数解の個数を調べよ.

% 解答I3.3.6
(1)与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると,$$D =(2k)^2-4 \cdot 1 \cdot (3k+10)=4k^2-12k-40=4(k^2-3k-10)$$2次方程式が重解をもつから,$D=0$したがって,$k=5,-2$また,重解は,$x=-\frac{2k}{2 \cdot 1}=-k$よって,$$\begin{alignedat}{2} &k=5 \text{ のとき,} &&\text{ 解は,} x=-5 \\ &k=-2 \text{ のとき,} &&\text{ 解は,} x=2 \end{alignedat}$$(2)与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると,$$D =(-2k)^2-4 \cdot 1 \cdot (k^2+4k-8)=-16k+32$$よって,実数解の個数は,$k$の値によって次のようになる. \begin{center}$D>0$,すなわち,$k<2$のとき,$2$個$D=0$,すなわち,$k=2$のとき,$1$個$D<0$,すなわち,$k>2$のとき,$0$個 \end{center}