% 例題I3.3.9：放物線と$x$軸の共有点の座標 （One More）★
次の放物線は$x$軸と共有点をもつか.もつときは,その座標を求めよ. (1)$y=-x^2+6x-9$(2)$y=x^2+2x-8$(3)$y=4x^2-5x+5$
% 解答（例題I3.3.9）
(1)$-x^2+6x-9=0$とすると,$x^2-6x+9=0$したがって,$(x-3)^2=0$ゆえに,$x=3$よって,$x$軸と共有点を1個もち,その座標は,$(3,0)$(2)$x^2+2x-8=0$とすると,$(x-2)(x+4)=0$したがって,$x=2,-4$よって,$x$軸と共有点を2個もち,その座標は,$(2,0),(-4,0)$(3)$4x^2-5x+5=0$とする.この2次方程式の判別式を$D$とすると,$D=(-5)^2-4 \cdot 4 \cdot 5=-55$よって,$D<0$であるから,グラフと$x$軸は共有点をもたない. 別解：$y=4x^2-5x+5=4\left\{\left(x-\frac{5}{8}\right)^2-\left(\frac{5}{8}\right)^2\right\}+5=4\left(x-\frac{5}{8}\right)^2+\frac{55}{16}$2次関数のグラフは,下に凸の放物線で,頂点の$y$座標は$\frac{55}{16}$である. よって,グラフと$x$軸は共有点をもたない.
% 問題I3.3.9
次の放物線は$x$軸と共有点をもつか.もつときは,その座標を求めよ. (1)$y=x^2-3x-10$(2)$y=-x^2+4x-4$(3)$y=3x^2-2x+6$
% 解答I3.3.9
(1)$x^2-3x-10=0$とすると,$(x-5)(x+2)=0$したがって,$x=5,-2$よって,$x$軸と共有点を2個もち,その座標は,$(5,0),(-2,0)$(2)$-x^2+4x-4=0$とすると,$x^2-4x+4=0$したがって,$(x-2)^2=0$ゆえに,$x=2$よって,$x$軸と共有点を1個もち,その座標は,$(2,0)$(3)$3x^2-2x+6=0$とする.この2次方程式の判別式を$D$とすると,$D=(-2)^2-4 \cdot 3 \cdot 6=-68$よって,$D<0$であるから,グラフと$x$軸は共有点をもたない. 別解：$y=3x^2-2x+6=3\left\{\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}\right\}+6=3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{17}{3}$2次関数のグラフは,下に凸の放物線で,頂点の$y$座標は$\frac{17}{3}$である. よって,$x$軸は共有点をもたない.
