% 例題I3.3.11：$x$軸から切り取る線分の長さ （One More）★★
(1)2次関数$y=-3 x^2-5 x+5$のグラフが$x$軸から切り取る線分の長さを求めよ. (2)放物線$y=x^2+2x+2k$が$x$軸から切り取る線分の長さが4であるとき,定数$k$の値を求めよ.
% 解答（例題I3.3.11）
(1)$-3 x^2-5x+5=0$とすると,$3 x^2+5x-5=0$したがって,$x=\frac{-5 \pm\sqrt{5^2-4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3}=\frac{-5 \pm\sqrt{25+60}}{6}=\frac{-5 \pm\sqrt{85}}{6}$よって,放物線が$x$軸から切り取る線分の長さは,$\frac{-5+\sqrt{85}}{6}-\frac{-5-\sqrt{85}}{6}=\frac{\sqrt{85}}{3}$(2)$x^2+2x+2k=0 \cdots (\mathrm{i})$とする.この2次方程式の判別式を$D$とすると,$\frac{D}{4}=1^2-1 \cdot 2k=1-2k$グラフが$x$軸と異なる2点で交わるから,$D>0$したがって,$1-2k>0$より,$k<\frac{1}{2} \cdots (\mathrm{ii})$このとき,2次方程式(i)を解くと,$x=-1\pm\sqrt{1-2k}$切り取る線分の長さが4であるから,$(-1+\sqrt{1-2k})-(-1-\sqrt{1-2k})=4$ゆえに,$\sqrt{1-2k}=2$したがって,$1-2k=4$これより,$k=-\frac{3}{2}$これは,(ii)を満たす. よって,$k=-\frac{3}{2}$
% 問題I3.3.11
(1)2次関数$y=-2x^2+3x+4$のグラフが$x$軸から切り取る線分の長さを求めよ. (2)放物線$y=-x^2+4x+2k$が$x$軸から切り取る線分の長さが6であるとき,定数$k$の値を求めよ.
% 解答I3.3.11
(1)$-2x^2+3x+4=0$とすると,$2x^2-3x-4=0$したがって,$x=\frac{3 \pm\sqrt{(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}=\frac{3 \pm\sqrt{9+32}}{4}=\frac{3 \pm\sqrt{41}}{4}$よって,放物線が$x$軸から切り取る線分の長さは,$\frac{3+\sqrt{41}}{4}-\frac{3-\sqrt{41}}{4}=\frac{\sqrt{41}}{2}$(2)$-x^2+4x+2k=0$とすると,$x^2-4x-2k=0 \cdots (\mathrm{i})$この2次方程式の判別式を$D$とすると,$\frac{D}{4}=(-2)^2-1 \cdot (-2k)=4+2k$グラフが$x$軸と異なる2点で交わるから,$D>0$したがって,$4+2k>0$より,$k>-2 \cdots (\mathrm{ii})$このとき,2次方程式(i)を解くと,$x=2 \pm\sqrt{4+2k}$切り取る線分の長さが6であるから,$(2+\sqrt{4+2k})-(2-\sqrt{4+2k})=6$ゆえに,$2\sqrt{4+2k}=6$したがって,$4+2k=9$これより,$k=\frac{5}{2}$この値は,(ii)を満たす. よって,求める定数$k$の値は,$\frac{5}{2}$
