% 例題I3.3.13：2次の連立方程式 （One More）★★
次の連立方程式を解け. (1)$\left\{\begin{array}{l}4 x-y=5 \\ x^2-4x-y=-2\end{array}\right.$(2)$\left\{\begin{array}{l}x^2-4 x y+3 y^2=0 \\ x^2+y^2+2x-2y=6\end{array}\right.$
% 解答（例題I3.3.13）
(1)$\left\{\begin{array}{l} 4 x-y=5 \cdots (\mathrm{i})\\ x^2-4x-y=-2 \cdots (\mathrm{ii}) \end{array}\right.$(i)より,$y=4 x-5$これを(ii)に代入すると,$x^2-4 x-(4 x-5)=-2$整理すると,$x^2-8 x+7=0$したがって,$(x-1)(x-7)=0$ゆえに,$x=1,7$$y=4 x-5$に代入すると,$x=1$のとき,$y=4 \cdot 1-5=-1$$x=7$のとき,$y=4 \cdot 7-5=23$よって,$(x,y)=(1,-1),(7,23)$(2)$\left\{ \begin{array}{l} x^2-4 x y+3 y^2=0 \cdots (\mathrm{i})\\ x^2+y^2+2x-2y=6 \cdots (\mathrm{ii}) \end{array}\right.$(i)より,$(x-y)(x-3 y)=0$したがって,$x=y$または$x=3 y$（ア）$x=y \cdots (\mathrm{iii})$のとき,(iii)を(ii)に代入して整理すると,$2y^2=6$したがって,$y=\pm\sqrt{3}$ゆえに,(iii)より,$y=\sqrt{3}$のとき,$x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}$のとき,$x=-\sqrt{3}$（イ）$x=3 y \cdots (\mathrm{iv})$のとき,(iv)を(ii)に代入して整理すると,$10 y^2+4y-6=0$したがって,$(5y-3)(y+1)=0$となり,$y=\frac{3}{5},-1$ゆえに,(iv)より,$y=\frac{3}{5}$のとき,$x=\frac{9}{5},y=-1$のとき,$x=-3$よって,（ア）,（イ）より,求める解は,$$(x,y)=(\sqrt{3},\sqrt{3}),(-\sqrt{3},-\sqrt{3}),\left(\frac{9}{5},\frac{3}{5}\right),(-3,-1)$$
% 問題I3.3.13
次の連立方程式を解け. (1)$\left\{\begin{array}{l}3 x-y=4 \\ x^2-3x-y=-1\end{array}\right.$(2)$\left\{\begin{array}{l}x^2-3 x y+2 y^2+3y-9=0 \\ x^2-y^2+x+y=0\end{array}\right.$
% 解答I3.3.13
(1)$\left\{\begin{array}{l} 3 x-y=4 \cdots (\mathrm{i})\\ x^2-3x-y=-1 \cdots (\mathrm{ii}) \end{array}\right.$(i)より,$y=3 x-4$これを(ii)に代入すると,$x^2-3 x-(3 x-4)=-1$整理すると,$x^2-6 x+5=0$したがって,$(x-1)(x-5)=0$ゆえに,$x=1,5$$y=3 x-4$に代入すると,$x=1$のとき,$y=3 \cdot 1-4=-1$$x=5$のとき,$y=3 \cdot 5-4=11$よって,$(x,y)=(1,-1),(5,11)$(2)$\left\{\begin{array}{l}x^2-3 x y+2 y^2+3y-9=0 \cdots (\mathrm{i})\\ x^2-y^2+x+y=0 \cdots (\mathrm{ii})\end{array}\right.$(ii)より,$(x+y)(x-y)+(x+y)=0$したがって,$(x+y)(x-y+1)=0$ゆえに,$y=-x$または$y=x+1$（ア）$y=-x \cdots (\mathrm{iii})$のとき,(iii)を(i)に代入して整理すると,$$2x^2-x-3=0$$したがって,$(2x-3)(x+1)=0$となり,$x=\frac{3}{2},-1$ゆえに,(iii)より,$x=\frac{3}{2}$のとき,$y=-\frac{3}{2},x=-1$のとき,$y=1$（イ）$y=x+1 \cdots (\mathrm{iv})$のとき,(iv)を(i)に代入して整理すると,$4x=4$したがって,$x=1$ゆえに,(iv)より,$x=1$のとき,$y=2$よって,（ア）,（イ）より,求める解は,$$(x,y)=\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right),(-1,1),(1,2)$$
