問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題I3.3.14：放物線と直線の共有点の座標（One More）★
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次の放物線と直線は共有点をもつか．もつときは，その座標を求めよ．
(1) $y=x^2+2x,y=-2x-3$
(2) $y=-x^2+4,y=4x+8$
(3) $y=3x^2-4x+2,y=x-1$
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% 例題I3.3.14の解答（One More）★
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(1) $\{\begin{array}{lll}y=x^2+2x&\cdots(\mathrm{i})\\y=-2x-3&\cdots(\mathrm{ii})\end{array}$とする．
(i) と(ii)から$y$を消去すると，$x^2+2x=-2x-3$
整理すると，$x^2+4x+3=0$
したがって，$(x+1)(x+3)=0$
ゆえに，$x=-1,-3$
(ii)より，$x=-1$のとき，$y=-1$，$x=-3$のとき，$y=3$
よって，共有点を2個もち，その座標は，$(-1,-1),(-3,3)$
(2) $\{\begin{array}{lll}y=-x^2+4&\cdots(\mathrm{i})\\y=4x+8&\cdots(\mathrm{ii})\end{array}$とする．
(i) と(ii)から$y$を消去すると，$-x^2+4=4x+8$
整理すると，$x^2+4x+4=0$
したがって，$(x+2)^2=0$
ゆえに，$x=-2$
(ii) より，$x=-2$のとき，$y=0$
よって，共有点を1個もち，その座標は，$(-2,0)$
(3) $\{\begin{array}{ll}y=3x^2-4x+2&\cdots(\mathrm{i})\\y=x-1&\cdots(\mathrm{ii})\end{array}$とする．
(i) と(ii)から$y$を消去すると，$3x^2-4x+2=x-1$
整理すると，$3x^2-5x+3=0$
この2次方程式の判別式を$D$とすると，
\[
D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 3=-11
\]
したがって，$D<0$であるから，この2次方程式は実数解をもたない．
よって，放物線(i)と直線(ii)は共有点をもたない．
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% 問題I3.3.14：放物線と直線の共有点の座標（One More）★
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次の2つの関数のグラフは共有点をもつか．もつときは，その座標を求めよ．
(1) $y=x^2-4x+2,y=-x$
(2) $y=-x^2+3x+2,y=4x+7$
(3) $y=x^2-6x+10,y=-x^2+2x+2$
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% 問題I3.3.14の解答（One More）★
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(1) $\{\begin{array}{lll}y=x^2-4x+2&\cdots(\mathrm{i})\\y=-x&\cdots(\mathrm{ii})\end{array}$とする．
(i) と(ii)から$y$を消去すると，$x^2-4x+2=-x$
整理すると，$x^2-3x+2=0$
したがって，$(x-2)(x-1)=0$
ゆえに，$x=2,1$
(ii)より，$x=2$のとき，$y=-2$，$x=1$のとき，$y=-1$
よって，共有点を2個もち，その座標は，$(2,-2),(1,-1)$
(2) $\{\begin{array}{ll}y=-x^2+3x+2&\cdots(\mathrm{i})\\y=4x+7&\cdots(\mathrm{ii})\end{array}$とする．
(i) と(ii)から$y$を消去すると，$-x^2+3x+2=4x+7$
整理すると，$-x^2-x-5=0$
この2次方程式の判別式を$D$とすると，
\[
D=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)=1-20=-19
\]
したがって，$D<0$であるから，この2次方程式は実数解をもたない．
よって，放物線(i)と直線(ii)は共有点をもたない．
(3) $\{\begin{array}{lll}y=x^2-6x+10&\cdots(\mathrm{i})\\y=-x^2+2x+2&\cdots(\mathrm{ii})\end{array}$とする．
(i) と(ii)から$y$を消去すると，$x^2-6x+10=-x^2+2x+2$
整理すると，$x^2-4x+4=0$
したがって，$(x-2)^2=0$
ゆえに，$x=2$
(ii) より，$x=2$のとき，$y=-2^2+2\cdot 2+2=2$
よって，共有点を1個もち，その座標は，$(2,2)$
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