【数学I】例題3.3.22：すべての実数について成り立つ不等式（One More）★★★

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% 例題I3.3.22：すべての実数について成り立つ不等式（One More）★★★
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次の条件を満たすような定数$k$の値の範囲を求めよ．

(1) すべての実数$x$について，2次不等式$x^2+kx-k>0$が成り立つ．

(2) 2次不等式$kx^2+(k+4)x+k>0$が解をもたない．

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% 例題I3.3.22の解答（One More）★★★
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(1) $f(x)=x^2+kx-k$とすると，$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線で，右の図のようになる．

よって，求める条件は，$y=f(x)$のグラフが常に上側にある，すなわち，$y=f(x)$のグラフが$x$軸と共有点をもたないことである．

$f(x)=0$の判別式を$D$とすると，

\[
D=k^2-4\cdot 1\cdot(-k)=k^2+4k=k(k+4)
\]

グラフが$x$軸と共有点をもたないから，$D<0$

したがって，$k(k+4)<0$

ゆえに，$-4<k<0$

よって，求める$k$の値の範囲は，$-4<k<0$

(2) $f(x)=kx^2+(k+4)x+k$とすると，$y=f(x)$のグラフは放物線である．

与えられた不等式は2次不等式であるから，$k\neq 0$

求める条件は，$kx^2+(k+4)x+k>0$が解をもたない，すなわち，すべての$x$について$kx^2+(k+4)x+k\leqq 0$が成り立つことである．つまり，グラフは上に凸の放物線であり，$x$軸と共有点をもたない，または$x$軸と接することから，$f(x)=0$の判別式を$D$とすると，求める条件は$k<0\cdots(\mathrm{i})$かつ$D\leqq 0$

\[
D=(k+4)^2-4k^2=-3k^2+8k+16=-(3k+4)(k-4)
\]

したがって，$-(3k+4)(k-4)\leqq 0$

ゆえに，$k\leqq-\frac{4}{3},4\leqq k\cdots(\mathrm{ii})$

よって，(i)と(ii)の共通範囲を求めると，$k\leqq-\frac{4}{3}$

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% 問題I3.3.22：すべての実数について成り立つ不等式（One More）★★★
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次の条件を満たすような定数$k$の値の範囲を求めよ．

(1) すべての実数$x$について，2次不等式$x^2+kx-2k>0$が成り立つ．

(2) 2次不等式$kx^2-2\sqrt{2}x+k+1>0$が解をもたない．

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% 問題I3.3.22の解答（One More）★★★
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(1) $f(x)=x^2+kx-2k$とすると，$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線で，右の図のようになる．

よって，求める条件は，$y=f(x)$のグラフが常に上側にある，すなわち，$y=f(x)$のグラフが$x$軸と共有点をもたないことである．

$f(x)=0$の判別式を$D$とすると，

\[
D=k^2-4\cdot 1\cdot(-2k)=k^2+8k=k(k+8)
\]

グラフが$x$軸と共有点をもたないから，$D<0$

したがって，$k(k+8)<0$

ゆえに，$-8<k<0$

よって，求める$k$の値の範囲は，$-8<k<0$

(2) $f(x)=kx^2-2\sqrt{2}x+k+1$とすると，$y=f(x)$のグラフは放物線である．

与えられた不等式は2次不等式であるから，$k\neq 0$

求める条件は，$kx^2-2\sqrt{2}x+k+1>0$が解をもたない，すなわち，すべての$x$について$kx^2-2\sqrt{2}x+k+1\leqq 0$が成り立つことである．つまり，グラフは上に凸の放物線であり，$x$軸と共有点をもたない，または$x$軸と接することから，$f(x)=0$の判別式を$D$とすると，求める条件は$k<0\cdots(\mathrm{i})$かつ$D\leqq 0$

\[
\frac{D}{4}=(\sqrt{2})^2-k\cdot(k+1)=-k^2-k+2=-(k+2)(k-1)
\]

したがって，$-4(k+2)(k-1)\leqq 0$

ゆえに，$k\leqq-2,1\leqq k\cdots(\mathrm{ii})$

よって，(i)と(ii)の共通範囲を求めると，$k\leqq-2$

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% 例題I3.3.22の側注：すべての実数について成り立つ不等式（One More）★★★
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% 側注1
すべての実数$x$について与えられた2次不等式が成り立つとき，グラフは下に凸で$x$軸と共有点をもたない．よって，$a>0,D<0$である．ここでは，$x^2$の係数が正であるので，$a>0$は成り立っていることから，$D<0$を考える．

% 側注2
問題文では「2次不等式」となっていることから，$a\neq 0$である．

% 側注3
$k<0$を忘れないように注意すること．

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% 問題I3.3.22の側注：すべての実数について成り立つ不等式（One More）★★★
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% 側注1
グラフは下に凸で$x$軸と共有点をもたないので，$a>0,D<0$である．ここでは，$x^2$の係数が正であるので，$a>0$は成り立っていることから，$D<0$を考える．

% 側注2
問題文では「2次不等式」となっていることから，$k\neq 0$である．

% 側注3
$k<0$を忘れないように注意すること．

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% 例題I3.3.22の考え方・補足など：すべての実数について成り立つ不等式（One More）★★★
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% 考え方
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グラフが上に凸か下に凸かを調べ，求める条件を整理する．

$a\neq 0$のとき，すべての実数$x$について，

\begin{align*}
(\mathrm{i})ax^2+bx+c>0\Longleftrightarrow\{\begin{array}{l}x^2\text{の係数}a>0\\\text{判別式}D<0\end{array}\\
(\mathrm{ii})ax^2+bx+c<0\Longleftrightarrow\{\begin{array}{l}x^2\text{の係数}a<0\\\text{判別式}D<0\end{array}
\end{align*}

(i)

(ii)