% 例題I3.3.26：方程式の解の存在範囲2 （One More）★★★
2次方程式$x^2-3 a x+2=0$が,$0<x<4$の範囲に異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
% 解答（例題I3.3.26）
$y=f(x)=x^2-3 a x+2$とし,2次方程式$x^2-3 a x+2=0$の判別式を$D$とする.$y=f(x)$のグラフは,下に凸の放物線で,軸は$x=\frac{3a}{2}$である.$f(x)=0$が$0<x<4$に異なる2つの実数解をもつのは,$y=f(x)$のグラフが右の図のようになるときである. したがって,求める条件は, (i)$D>0$, (ii)軸が$0<x<4$の間にある, (iii)$f(0)>0,f(4)>0$である. (i)$D=(-3a)^2-4 \cdot 1 \cdot 2=9a^2-8$であり,$D>0$である から,$9a^2-8>0$したがって,$a<-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}<a$(ii)軸は直線$x=\frac{3a}{2}$であるから,$0<\frac{3a}{2}<4$より,$0<a<\frac{8}{3}$(iii)$f(0)=0^2-3a \cdot 0+2=2,f(4)=4^2-3a \cdot 4+2=-12a+18$であり,$f(0)>0$かつ$f(4)>0$より,$-12a+18>0$したがって,$a<\frac{3}{2}$よって,(i)〜(iii)より,求める$a$の値の範囲は,$\frac{2\sqrt{2}}{3}<a<\frac{3}{2}$
% 問題I3.3.26
2次方程式$x^2-4 a x+3=0$が,$1<x<5$の範囲に異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
% 解答I3.3.26
$y=f(x)=x^2-4 a x+3$とし,2次方程式$x^2-4 a x+3=0$の判別式を$D$とする.$y=f(x)$のグラフは,下に凸の放物線で,軸は$x=2a$である.$f(x)=0$が$1<x<5$に異なる2つの実数解をもつのは,$y=f(x)$のグラフが右の図のようになるときである. したがって,求める条件は, (i)$D>0$, (ii)軸が$1<x<5$の間にある, (iii)$f(1)>0,f(5)>0$である. (i)$\frac{D}{4}=(-2a)^2-1 \cdot 3=4a^2-3$であり,$D>0$である から,$4a^2-3>0$したがって,$a<-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}<a$(ii)軸は直線$x=2a$であるから,$1<2a<5$より,$\frac{1}{2}<a<\frac{5}{2}$(iii)$f(1)=1^2-4a \cdot 1+3=-4a+4,f(5)=5^2-4a \cdot 5+3=-20a+28$であり,$f(1)>0$かつ$f(5)>0$より,$4-4a>0,-20a+28>0$したがって,$a<1$よって,(i)〜(iii)より,求める$a$の値の範囲は,$\frac{\sqrt{3}}{2}<a<1$
