% 例題I3.3.28：方程式の解の存在範囲4 （One More）★★★
2次方程式$a x^2-(a+2)x-a-5=0$が,$-1<x<0$の範囲に1つの解があり,$1<x<3$の範囲に他の解があるような定数$a$の値の範囲を定めよ.
% 解答（例題I3.3.28）
$f(x)=a x^2-(a+2)x-a-5$とする. 与えられた方程式は2次方程式であるから,$a \neq 0$求める条件は,$y=f(x)$のグラフが$-1<x<0,1<x<3$の範囲でそれぞれ$x$軸と1点で交わることである. すなわち,$f(-1) \cdot f(0)<0$かつ$f(1) \cdot f(3)<0$ここで,$f(-1)=a-3,f(0)=-a-5,f(1)=-a-7,f(3)=5a-11$$f(-1) \cdot f(0)<0$より,$(a-3)(-a-5)<0$すなわち,$(a+5)(a-3)>0$したがって,$a<-5,3<a \cdots (\mathrm{i})$$f(1) \cdot f(3)<0$より,$(-a-7)(5a-11)<0$すなわち,$(a+7)(5a-11)>0$したがって,$a<-7,\frac{11}{5}<a \cdots (\mathrm{ii})$よって,(i),(ii)より,求める$a$の値の範囲は,$$a<-7,3<a$$これは,$a \neq 0$を満たす.
% 問題I3.3.28
2次方程式$a x^2-(a+1)x-2=0$が,$-1<x<1$の範囲に1つの解があり,$3<x<5$の範囲に他の解があるような定数$a$の値の範囲を定めよ.
% 解答I3.3.28
$f(x)=a x^2-(a+1)x-2$とする. 与えられた方程式は2次方程式であるから,$a \neq 0$求める条件は,$y=f(x)$のグラフが$-1<x<1,3<x<5$の範囲でそれぞれ$x$軸と1点で交わることである. すなわち,$f(-1) \cdot f(1)<0$かつ$f(3) \cdot f(5)<0$ここで,$f(-1)=2a-1,f(1)=-3,f(3)=6a-5,f(5)=20a-7$$f(-1) \cdot f(1)<0$より,$(2a-1) \cdot (-3)<0$したがって,$a>\frac{1}{2} \cdots (\mathrm{i})$$f(3) \cdot f(5)<0$より,$(6a-5)(20a-7)<0$したがって,$\frac{7}{20}<a<\frac{5}{6} \cdots (\mathrm{ii})$よって,(i),(ii)より,求める$a$の値の範囲は,$$\frac{1}{2}<a<\frac{5}{6}$$これは,$a \neq 0$を満たす.
