【数学I】例題3.3.29：方程式の解の存在範囲5（One More）★★★★

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% 例題I3.3.29：方程式の解の存在範囲5（One More）★★★★
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2次方程式$x^2-2(a+1)x+(a+3)=0$が，$1<x<3$の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

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% 例題I3.3.29の解答（One More）★★★★
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$f(x)=x^2-2(a+1)x+(a+3)$とする．

(i) すべての解が$1<x<3$の範囲にあるとき

$y=f(x)$のグラフが$1<x<3$の範囲で$x$軸と共有点をもつことから，求める条件は，次の（ア）〜（ウ）である．

（ア）$x$軸と共有点をもつから，2次方程式$f(x)=0$の判別式を$D$とすると，$D\geqq 0$である．$\frac{D}{4}=\{-(a+1)\}^2-1\cdot(a+3)=a^2+a-2=(a+2)(a-1)$であり，$D\geqq 0$であるから，$(a+2)(a-1)\geqq 0$

したがって，$a\leqq-2,1\leqq a$

（イ）$y=f(x)$の軸は直線$x=a+1$であり，軸が$1<x<3$の間にあるから，$0<a<2$

（ウ）$f(1)=-a+2,f(3)=-5a+6$であるから，$f(1)>0$より，$a<2$，$f(3)>0$より，$a<\frac{6}{5}$

したがって，（ア）〜（ウ）より，$1\leqq a<\frac{6}{5}$

(ii) 1つの解が$1<x<3$，他の解が$x<1,3<x$の範囲にあるとき

$f(1)\cdot f(3)<0$が成り立つ．したがって，$(-a+2)(-5a+6)<0$，すなわち，$(a-2)(5a-6)<0$である．ゆえに，$\frac{6}{5}<a<2$

(iii) 1つの解が$x=1$のとき

$-a+2=0$より，$a=2$である．このとき，2次方程式は，$x^2-6x+5=0$となる．したがって，$(x-1)(x-5)=0$より，$x=1,5$である．ゆえに，$1<x<3$の範囲に解はない．

(iv) 1つの解が$x=3$のとき

$-5a+6=0$より，$a=\frac{6}{5}$である．このとき，2次方程式は，$x^2-\frac{22}{5}x+\frac{21}{5}=0$となる．したがって，$(5x-7)(x-3)=0$より，$x=\frac{7}{5},3$

よって，(i)〜(iv)より，求める$a$の値の範囲は，$1\leqq a<2$

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% 問題I3.3.29：方程式の解の存在範囲5（One More）★★★★
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2次方程式$x^2-2ax+(a+2)=0$が，$1<x<4$の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

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% 問題I3.3.29の解答（One More）★★★★
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$f(x)=x^2-2ax+(a+2)$とする．

(i) すべての解が$1<x<4$の範囲にあるとき

$y=f(x)$のグラフが$1<x<4$の範囲で$x$軸と共有点をもつことから，求める条件は，次の（ア）〜（ウ）である．

（ア）$x$軸と共有点をもつから，2次方程式$f(x)=0$の判別式を$D$とすると，

\[
\frac{D}{4}=a^2-1\cdot(a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)
\]

$D\geqq 0$であるから，$(a-2)(a+1)\geqq 0$

したがって，$a\leqq-1,2\leqq a$

（イ）$y=f(x)$の軸は直線$x=a$であり，軸が$1<x<4$の間にあるから，$1<a<4$

（ウ）$f(1)=-a+3,f(4)=-7a+18$であるから，$f(1)>0$より，$a<3$，$f(4)>0$より，$a<\frac{18}{7}$

したがって，$a<\frac{18}{7}$

したがって，（ア）〜（ウ）より，$2\leqq a<\frac{18}{7}$

(ii) 1つの解が$1<x<4$，他の解が$x<1,4<x$の範囲にあるとき

$f(1)\cdot f(4)<0$が成り立つ．

したがって，$(-a+3)(-7a+18)<0$，すなわち，$(a-3)(7a-18)<0$である．

ゆえに，$\frac{18}{7}<a<3$

(iii) 1つの解が$x=1$のとき

$-a+3=0$より，$a=3$である．このとき，2次方程式は，$x^2-6x+5=0$となる．したがって，$(x-1)(x-5)=0$より，$x=1,5$である．

ゆえに，$1<x<4$の範囲に解はない．

(iv) 1つの解が$x=4$のとき

$-7a+18=0$より，$a=\frac{18}{7}$である．このとき，2次方程式は，$x^2-\frac{36}{7}x+\frac{32}{7}=0$となる．

したがって，$(7x-8)(x-4)=0$より，$x=\frac{8}{7},4$

よって，(i)〜(iv)より，求める$a$の値の範囲は，$2\leqq a<3$

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% 例題I3.3.29の側注：方程式の解の存在範囲5（One More）★★★★
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% 側注1
少なくとも1つ実数解をもつから，$y=f(x)$のグラフが$x$軸に接する場合，すなわち，$D=0$の場合も含めて，$D\geqq 0$となる．

% 側注2
$1<a+1<3$より，$0<a<2$

% 側注3
$f(1)>0$かつ$f(3)<0$または$f(1)<0$かつ$f(3)>0$，すなわち，$f(1)\cdot f(3)<0$（$f(1)$と$f(3)$が異符号）

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% 問題I3.3.29の側注：方程式の解の存在範囲5（One More）★★★★
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% 側注1
少なくとも1つ実数解をもつから，$y=f(x)$のグラフが$x$軸に接する場合，すなわち，$D=0$の場合も含めて，$D\geqq 0$となる．

% 側注2
$f(1)>0$かつ$f(4)<0$または$f(1)<0$かつ$f(4)>0$，すなわち，$f(1)\cdot f(4)<0$（$f(1)$と$f(4)$が異符号）

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% 例題I3.3.29の考え方・補足など：方程式の解の存在範囲5（One More）★★★★
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% 考え方
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次の4つの場合分けを考えて，$a$の値を定める．

(i) すべての解が$1<x<3$にあるとき（$x$軸と共有点をもつとき），判別式，軸，$f(1),f(3)$（端点）の満たす条件を考える．

(ii) 2つの解のうち一方のみが$1<x<3$にあるとき，$f(1)\cdot f(3)<0$を考える．

(iii) 1つの解が$x=1$のとき，他の解は$1<x<3$の範囲にあるか否かを考える．

(iv) 1つの解が$x=3$のとき，他の解は$1<x<3$の範囲にあるか否かを考える．