% 例題A1.2.19：同じものを含む順列と組合せ （One More）★★★
10個の数字$1,1,1,1,2,2,2,3,3,4$のうち4個を用いてできる4桁の整数の個数を求めよ.
% 解答（例題A1.2.19）
1,2,3,4のいずれかを$A,B,C,D$で表す.ただし,$A,B,C,D$はすべて異なる数字であるとする. (i)4個の数がすべて同じ$\{A,A,A,A\}$のとき$A$に入る数は1のみであるから,1通り (ii)4個のうち3個の数が同じ$\{A,A,A,B\}$のとき$A$に入る数は1か2であるから,2通り$B$に入る数は$A$以外の3通り 選んだ4個の数の並び方は,$\frac{4!}{3!}$通り したがって,$2 \times 3 \times\frac{4!}{3!}=24 (\text{通り})$(iii)4個のうち2個ずつ数が同じ$\{A,A,B,B\}$のとき$A$,$B$に入る数は,${}_3 \mathrm{C}_2$通り 選んだ4個の数の並び方は,$\frac{4!}{2!2!}$通り したがって,${}_3\mathrm{C}_2 \times\frac{4!}{2!2!}=18 (\text{通り})$(iv)4個のうち2個の数が同じで,残りの数は異なる$\{A,A,B,C\}$のとき$A$に入る数は,${}_3 \mathrm{C}_1$通り$B$,$C$に入る数は残りの${}_3 \mathrm{C}_2$通り 選んだ4個の数の並び方は,$\frac{4!}{2!}$通り したがって,${}_3 \mathrm{C}_1 \times {}_3 \mathrm{C}_2 \times\frac{4!}{2!}=108 (\text{通り})$(v)4個の数がすべて異なる$\{A,B,C,D\}$のとき 4個の数の並び方は,$4!=24 (\text{通り})$よって,(i)〜(v)より,$$1+24+18+108+24=175(\text{個})$$
% 問題A1.2.19
9個の数字$5,5,5,5,6,6,6,7,7$のうち4個を用いてできる4桁の整数の個数を求めよ.
% 解答A1.2.19
5,6,7のいずれかを$A,B,C$で表す.ただし,$A,B,C$はすべて異なる数字であるとする. (i)4個の数がすべて同じ$\{A,A,A,A\}$のとき$A$に入る数は5のみであるから,1通り (ii)4個のうち3個の数が同じ$\{A,A,A,B\}$のとき$A$に入る数は5か6であるから,2通り$B$に入る数は$A$以外の2通り 選んだ4個の数の並び方は,$\frac{4!}{3!}$通り したがって,$2 \times 2 \times\frac{4!}{3!}=16 (\text{通り})$(iii)4個のうち2個ずつ数が同じ$\{A,A,B,B\}$のとき$A$,$B$に入る数は,${}_3 \mathrm{C}_2$通り 選んだ4個の数の並び方は,$\frac{4!}{2!2!}$通り したがって,${}_3\mathrm{C}_2 \times\frac{4!}{2!2!}=18 (\text{通り})$(iv)4個のうち2個の数が同じで,残りの数は異なる$\{A,A,B,C\}$のとき$A$に入る数は,${}_3 \mathrm{C}_1$通り 選んだ4個の数の並び方は,$\frac{4!}{2!}$通り したがって,${}_3 \mathrm{C}_1 \times\frac{4!}{2!}=36 (\text{通り})$よって,(i)〜(iv)より,$1+16+18+36=71(\text{個})$
