問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A1.2.20：同じものを含む円順列・数珠順列（One More）★★★
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赤玉4個，白玉2個，青玉1個の合計7個の玉がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1) これらの玉を1列に並べる方法は何通りあるか．
(2) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか．
(3) これらの玉にひもを通し，首飾りを作る方法は何通りあるか．
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% 例題A1.2.20の解答（One More）★★★
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(1) $\frac{7!}{4!2!}=105(\text{通り})$
(2) 7個の玉を円形に並べる総数は，1個の青玉を固定すると，赤玉4個，白玉2個を1列に並べる順列の総数と一致するから，
\[
\frac{6!}{4!2!}=15(\text{通り})
\]
(3) (2)で求めた順列のうち，左右対称であるものは，青玉を中心として片側に赤玉2個，白玉1個を並べる方法の総数と一致するから，
\[
\frac{3!}{2!}=3\text{(通り)}
\]
したがって，左右対称でない配置は，
\[
15-3=12\text{(通り)}
\]
左右対称でない配置は，互いに裏返しの関係にある2通りが同じ首飾りを表すので，$\frac{12}{2}=6(\text{通り})$
よって，求める首飾りの総数は，$3+6=9(\text{通り})$
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% 問題A1.2.20：同じものを含む円順列・数珠順列（One More）★★★
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青玉6個，赤玉2個，白玉1個の合計9個の玉がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1) これらの玉を1列に並べる方法は何通りあるか．
(2) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか．
(3) これらの玉にひもを通し，首飾りを作る方法は何通りあるか．
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% 問題A1.2.20の解答（One More）★★★
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(1) $\frac{9!}{6!2!}=252(\text{通り})$
(2) 9個の玉を円形に並べる総数は，1個の白玉を固定すると，青玉6個，赤玉2個を1列に並べる順列の総数と一致するから，
\[
\frac{8!}{6!2!}=28(\text{通り})
\]
(3) (2)で求めた順列のうち，左右対称であるものは，白玉を中心として片側に青玉3個，赤玉1個を並べる方法の総数と一致するから，
\[
\frac{4!}{3!}=4\text{(通り)}
\]
したがって，左右対称でない配置は，
\[
28-4=24\text{(通り)}
\]
左右対称でない配置は，互いに裏返しの関係にある2通りが同じ首飾りを表すので，$\frac{24}{2}=12(\text{通り})$
よって，求める首飾りの総数は，$4+12=16(\text{通り})$
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