% 例題I3.3.4：2次方程式の係数決定 （One More）★★
(1)2次方程式$x^2+a x+b=0$の2つの解が$3$と$-2$であるとき,定数$a,b$の値を求めよ. (2)2次方程式$x^2+a x-32=0$の解の1つが$x=a$のとき,定数$a$の値を求めよ.また,そのときの他の解を求めよ.
% 解答（例題I3.3.4）
(1)$x^2+a x+b=0$の2 つの解が$3$と$-2$であるから,$x=3$と$x=-2$をそれぞれ 代入すると,$$\left\{\begin{array}{l} 3^2+a \cdot 3+b=0 \\ (-2)^2+a \cdot (-2)+b=0 \end{array}\right.$$すなわち,$\left\{ \begin{array}{l} 3 a+b=-9 \cdots (\mathrm{i})\\ -2 a+b=-4 \cdots (\mathrm{ii)} \end{array}\right.$よって,(i),(ii)を解いて,$a=-1,b=-6$別解：2つの解が$3$と$-2$であるから,もとの2次方程式は,$(x-3)(x+2)=0$したがって,$x^2-x-6=0$よって,$x^2+a x+b=0$と係数を比較すると,$a=-1,b=-6$(2)$x=a$が$x^2+a x-32=0$の解であるから,$a^2+a \cdot a-32=0$すなわち,$2 a^2=32$より,$a=\pm 4$(i)$a=4$のとき 方程式は,$x^2+4x-32=0$したがって,$(x-4)(x+8)=0$ゆえに,$x=4,-8$したがって,他の解は,$x=-8$(ii)$a=-4$のとき 方程式は,$x^2-4x-32=0$したがって,$(x-8)(x+4)=0$ゆえに,$x=8,-4$したがって,他の解は,$x=8$よって,(i),（ii）より,$$\begin{alignedat}{2} &a=4 \text{ のとき,} &&\text{ 他の解は,} x=-8 \\ &a=-4 \text{ のとき,} &&\text{ 他の解は,} x=8 \end{alignedat}$$
% 問題I3.3.4
(1)2次方程式$x^2+ax+b=0$の2つの解が$4$と$-5$であるとき,定数$a,b$の値を求めよ. (2)2次方程式$x^2+ax-8=0$の解の1つが$x=a$のとき,定数$a$の値を求めよ.また,そのときの他の解を求めよ.
% 解答I3.3.4
(1)$x^2+ax+b=0$の2つの解が$4$と$-5$であるから,$x=4$と$x=-5$をそれぞれ代入して,$$\left\{\begin{array}{l} 4^2+a \cdot 4+b=0 \\ (-5)^2+a \cdot (-5)+b=0 \end{array}\right.$$すなわち,$\left\{ \begin{array}{l} 4a+b=-16 \cdots (\mathrm{i})\\ -5a+b=-25 \cdots (\mathrm{ii}) \end{array}\right.$よって,(i),(ii)を解いて,$a=1,b=-20$別解：2つの解が$4$と$-5$より,もとの2次方程式は,$(x-4)(x+5)=0$したがって,$x^2+x-20=0$よって,$x^2+ax+b=0$と係数を比較すると,$a=1,b=-20$(2)$x=a$が$x^2+ax-8=0$の解であるから,$a^2+a \cdot a-8=0$すなわち,$2a^2=8$より,$a=\pm 2$(i)$a=2$のとき 方程式は,$x^2+2x-8=0$したがって,$(x-2)(x+4)=0$ゆえに,$x=2,-4$したがって,他の解は,$x=-4$(ii)$a=-2$のとき 方程式は,$x^2-2x-8=0$したがって,$(x-4)(x+2)=0$ゆえに,$x=4,-2$したがって,他の解は,$x=4$よって,(i),（ii）より,$$\begin{alignedat}{2} &a=2 \text{ のとき,} &&\text{ 他の解は,} x=-4 \\ &a=-2 \text{ のとき,} &&\text{ 他の解は,} x=4 \end{alignedat}$$
