% 例題A4.1.11：余りによる場合分け1 （One More）★★
$n$を整数とするとき,次の問いに答えよ. (1)$n^2+3n+2$は偶数であることを証明せよ. (2)$n^2-2$は3の倍数ではないことを証明せよ.
% 解答（例題A4.1.11）
(1)すべての整数$n$は,$n=2k,n=2k+1(k$は整数) のいずれかの形で表される. (i)$n=2k$のとき$$n^2+3n+2=(2k)^2+3 \cdot 2k+2 =4k^2+6k+2=2(2k^2+3k+1)$$(ii)$n=2k+1$のとき$$n^2+3n+2=(2k+1)^2+3(2k+1)+2 =4k^2+10k+6=2(2k^2+5k+3)$$よって,(i),(ii)より,$n^2+3n+2$は偶数である.$\blacksquare$別解：$n^2+3n+2=n(n+1)+2(n+1)$連続する2つの整数の積$n(n+1)$は偶数であり,$2(n+1)$も偶数であるから,$n^2+3n+2$は偶数である.$\blacksquare$(2)すべての整数$n$は,$n=3k,n=3k+1,n=3k+2$（$k$は整数） のいずれかの形で表される. (i)$n=3k$のとき$n^2-2=(3k)^2-2=9k^2-2=3 \cdot 3k^2-2$(ii)$n=3k+1$のとき$n^2-2=(3k+1)^2-2=9k^2+6k-1=3\left(3k^2+2k\right)-1$(iii)$n=3k+2$のとき$n^2-2=(3k+2)^2-2=9k^2+12k+2=3\left(3k^2+4k\right)+2$よって,(i)〜(iii)より,$n^2-2$は3の倍数ではない.$\blacksquare$
% 問題A4.1.11
$n$を整数とするとき,次の問いに答えよ. (1)$n^2-5n+4$は偶数であることを証明せよ. (2)$n^3+2n+1$を3で割った余りが1であることを証明せよ.
% 解答A4.1.11
(1)すべての整数$n$は,$n=2k,n=2k+1(k$は整数) のいずれかの形で表される. (i)$n=2k$のとき$$n^2-5n+4=(2k)^2-5 \cdot 2k+4 =4k^2-10k+4=2(2k^2-5k+2)$$(ii)$n=2k+1$のとき$$n^2-5n+4=(2k+1)^2-5(2k+1)+4 =4k^2-6k=2(2k^2-3k)$$よって,(i),(ii)より,$n^2-5n+4$は偶数である.$\blacksquare$(2)すべての整数$n$は,$n=3k,n=3k+1,n=3k+2(k$は整数) のいずれかの形で表される. (i)$n=3k$のとき$$\begin{aligned} n^3+2n+1&=(3k)^3+2 \cdot 3k+1\\ &27k^3+6k+1 \\&=3(9k^3+2k)+1 \end{aligned}$$(ii)$n=3k+1$のとき$$\begin{aligned} n^3+2n+1&=(3k+1)^3+2(3k+1)+1\\ &=27k^3+27k^2+15k+4\\&=3(9k^3+9k^2+5k+1)+1 \end{aligned}$$(iii)$n=3k+2$のとき$$\begin{aligned} n^3+2n+1&=(3k+2)^3+2(3k+2)+1 \\ &=27k^3+54k^2+42k+13\\&=3(9k^3+18k^2+14k+4)+1 \end{aligned}$$よって,(i)〜(iii)より,$n^3+2n+1$を3で割ると余りは1である.$\blacksquare$
