% 例題A4.1.5：最大公約数・最小公倍数1 （One More）★
(1)次の各組の最大公約数と最小公倍数を求めよ. (i)$198,276$(ii)$450,630,840$(2)$n$を正の整数とする.$n$と18の最小公倍数が72となるような$n$をすべて求めよ.
% 解答（例題A4.1.5）
(1) (i)与えられた2つの数を素因数分解すると,$$198=2 \cdot 3^2 \cdot 11,276=2^2 \cdot 3 \cdot 23$$最大公約数は,$2 \cdot 3=6$最小公倍数は,$2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 23=9108$(ii)与えられた3つの数を素因数分解すると,$$450=2 \cdot 3^2 \cdot 5^2,630=2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,840=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$$最大公約数は,$2 \cdot 3 \cdot 5=30$最小公倍数は,$2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7=12600$(2)18,72をそれぞれ素因数分解すると,$$18=2 \cdot 3^2,72=2^3 \cdot 3^2$$したがって,18との最小公倍数が72である正の整数は,$2^3 \cdot 3^a(a=0,1,2)$ゆえに,求める正の整数$n$は,$$n=2^3 \cdot 3^0,2^3 \cdot 3^1,2^3 \cdot 3^2$$よって,$n=8,24,72$$$\begin{array}{r@{\:}r@{\:}r@{\:}} 2 &)& 198\\\cline{2-3} 3 &)& 99\\\cline{2-3} 3 &)& 33\\\cline{2-3} & & 11 \end{array}$$$$\begin{array}{r@{\:}r@{\:}r@{\:}} 2 &)& 276\\\cline{2-3} 2 &)& 138\\\cline{2-3} 3 &)& 69\\\cline{2-3} & & 23 \end{array}$$
% 問題A4.1.5
(1)次の各組の最大公約数と最小公倍数を求めよ. (i)$144,192$(ii)$210,360,540$(2)$n$を正の整数とする.$n$と20の最小公倍数が80となるような$n$をすべて求めよ.
% 解答A4.1.5
(1) (i)与えられた2つの数を素因数分解すると,$$144=2^4 \cdot 3^2,192=2^6 \cdot 3$$最大公約数は,$2^4 \cdot 3=48$最小公倍数は,$2^6 \cdot 3^2=576$(ii)与えられた3つの数を素因数分解すると,$$210=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7,360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5,540=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$$最大公約数は,$2 \cdot 3 \cdot 5=30$最小公倍数は,$2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7=7560$(2)20,80をそれぞれ素因数分解すると,$$20=2^2 \cdot 5,80=2^4 \cdot 5$$したがって,20との最小公倍数が80である正の整数は,$2^4 \cdot 5^a(a=0,1)$ゆえに,求める正の整数$n$は,$$n=2^4 \cdot 5^0,2^4 \cdot 5^1$$よって,$n=16,80$$$\begin{array}{r@{\:}r@{\:}r@{\:}} 2 &)& 144\\\cline{2-3} 2 &)& 72\\\cline{2-3} 2 &)& 36\\\cline{2-3} 2 &)& 18\\\cline{2-3} 3 &)& 9\\\cline{2-3} & & 3 \end{array}$$$$\begin{array}{r@{\:}r@{\:}r@{\:}} 2 &)& 192\\\cline{2-3} 2 &)& 96\\\cline{2-3} 2 &)& 48\\\cline{2-3} 2 &)& 24\\\cline{2-3} 2 &)& 12\\\cline{2-3} 2 &)& 6\\\cline{2-3} & & 3 \end{array}$$
