問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A4.1.5：最大公約数・最小公倍数1（One More）★
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(1) 次の各組の最大公約数と最小公倍数を求めよ．
(i) $198,276$
(ii) $450,630,840$
(2) $n$を正の整数とする．$n$と18の最小公倍数が72となるような$n$をすべて求めよ．
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% 例題A4.1.5の解答（One More）★
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(1)
(i) 与えられた2つの数を素因数分解すると，
\[
198=2\cdot 3^2\cdot 11,276=2^2\cdot 3\cdot 23
\]
最大公約数は，$2\cdot 3=6$
最小公倍数は，$2^2\cdot 3^2\cdot 11\cdot 23=9108$
(ii) 与えられた3つの数を素因数分解すると，
\[
450=2\cdot 3^2\cdot 5^2,630=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7,840=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7
\]
最大公約数は，$2\cdot 3\cdot 5=30$
最小公倍数は，$2^3\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7=12600$
(2) 18，72をそれぞれ素因数分解すると，
\[
18=2\cdot 3^2,72=2^3\cdot 3^2
\]
したがって，18との最小公倍数が72である正の整数は，$2^3\cdot 3^a(a=0,1,2)$
ゆえに，求める正の整数$n$は，
\[
n=2^3\cdot 3^0,2^3\cdot 3^1,2^3\cdot 3^2
\]
よって，$n=8,24,72$
\[
\begin{array}{rrr}
2&)&198\\\cline{2-3}
3&)&99\\\cline{2-3}
3&)&33\\\cline{2-3}
&&11
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrr}
2&)&276\\\cline{2-3}
2&)&138\\\cline{2-3}
3&)&69\\\cline{2-3}
&&23
\end{array}
\]
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% 問題A4.1.5：最大公約数・最小公倍数1（One More）★
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(1) 次の各組の最大公約数と最小公倍数を求めよ．
(i) $144,192$
(ii) $210,360,540$
(2) $n$を正の整数とする．$n$と20の最小公倍数が80となるような$n$をすべて求めよ．
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% 問題A4.1.5の解答（One More）★
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(1)
(i) 与えられた2つの数を素因数分解すると，
\[
144=2^4\cdot 3^2,192=2^6\cdot 3
\]
最大公約数は，$2^4\cdot 3=48$
最小公倍数は，$2^6\cdot 3^2=576$
(ii) 与えられた3つの数を素因数分解すると，
\[
210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7,360=2^3\cdot 3^2\cdot 5,540=2^2\cdot 3^3\cdot 5
\]
最大公約数は，$2\cdot 3\cdot 5=30$
最小公倍数は，$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7=7560$
(2) 20，80をそれぞれ素因数分解すると，
\[
20=2^2\cdot 5,80=2^4\cdot 5
\]
したがって，20との最小公倍数が80である正の整数は，$2^4\cdot 5^a(a=0,1)$
ゆえに，求める正の整数$n$は，
\[
n=2^4\cdot 5^0,2^4\cdot 5^1
\]
よって，$n=16,80$
\[
\begin{array}{rrr}
2&)&144\\\cline{2-3}
2&)&72\\\cline{2-3}
2&)&36\\\cline{2-3}
2&)&18\\\cline{2-3}
3&)&9\\\cline{2-3}
&&3
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rrr}
2&)&192\\\cline{2-3}
2&)&96\\\cline{2-3}
2&)&48\\\cline{2-3}
2&)&24\\\cline{2-3}
2&)&12\\\cline{2-3}
2&)&6\\\cline{2-3}
&&3
\end{array}
\]
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