% 例題A4.1.6：最大公約数・最小公倍数2 （One More）★★
次の条件を満たす2つの自然数$a,b$の組をすべて求めよ.ただし,$a<b$とする. (1)和が150,最大公約数が10 (2)積が180,最小公倍数が60
% 解答（例題A4.1.6）
(1)最大公約数が10であるから,2つの自然数$a,b$は$a=10 a^{\prime},b=10 b^{\prime}$とおける. ただし,$a^{\prime},b^{\prime}$は互いに素な自然数であり,$a<b$より,$a^{\prime}<b^{\prime}$和が150であるから,$10 a^{\prime}+10 b^{\prime}=150$したがって,$a^{\prime}+b^{\prime}=15$これを満たす,互いに素な自然数$a^{\prime},b^{\prime}$の組は,$\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)=(1,14),(2,13),(4,11),(7,8)$よって,$(a,b)=(10,140),(20,130),(40,110),(70,80)$(2)最大公約数を$g$とすると,積が180,最小公倍数が60であるから,$180=g \cdot 60$したがって,$g=3$であるから,$a=3 a^{\prime},b=3 b^{\prime}$とおける. ただし,$a^{\prime},b^{{\prime}}$は互いに素な自然数であり,$a<b$より,$a^{\prime}<b^{\prime}$60=3 a^{\prime} b^{\prime}$が成り立つから,$a^{\prime} b^{\prime}=20$これを満たす,互いに素な自然数$a^{\prime},b^{\prime}$の組は,$\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)=(1,20),(4,5)$よって,$(a,b)=(3,60),(12,15)$
% 問題A4.1.6
次の条件を満たす2つの自然数$a,b$の組をすべて求めよ.ただし,$a<b$とする. (1)和が180,最大公約数が15 (2)積が400,最小公倍数が80
% 解答A4.1.6
(1)最大公約数が15であるから,2つの自然数$a,b$は$a=15 a^{\prime},b=15 b^{\prime}$とおける. ただし,$a^{\prime},b^{\prime}$は互いに素な自然数であり,$a<b$より,$a^{\prime}<b^{\prime}$和が180であるから,$15 a^{\prime}+15 b^{\prime}=180$したがって,$a^{\prime}+b^{\prime}=12$これを満たす,互いに素な自然数$a^{\prime},b^{\prime}$の組は,$\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)=(1,11),(5,7)$よって,$(a,b)=(15,165),(75,105)$(2)最大公約数を$g$とすると,積が400,最小公倍数が80であるから,$400=g \cdot 80$したがって,$g=5$であるから,{$a=5 a^{\prime},b=5 b^{\prime}$}とおける. ただし,$a^{\prime},b^{{\prime}}$は互いに素な自然数であり,$a<b$より,$a^{\prime}<b^{\prime}$80=5 a^{\prime} b^{\prime}$が成り立つから,$a^{\prime} b^{\prime}=16$これを満たす,互いに素な自然数$a^{\prime},b^{\prime}$の組は,$\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)=(1,16)$よって,$(a,b)=(5,80)$
