【数学A】例題4.2.10：方程式の整数解8（One More）★★★★

% 例題A4.2.10：方程式の整数解8 （One More）★★★★
$3x^2+4xy-4y^2+4x-16y-20=0$を満たす整数の組$(x,y)$を求めよ.

% 解答（例題A4.2.10）
$$3x^2+4xy-4y^2=(3x-2y)(x+2y)$$と因数分解できるので,定数$p,q$を用いて$(3x-2y+p)(x+2y+q)$を展開し,与えられた式の左辺と比較する.$$\begin{aligned} (3x-2y+p)(x+2y+q)&=(3x-2y)(x+2y)+q(3x-2y)+p(x+2y)+pq \\ &=3x^2+4xy-4y^2+(p+3q)x+(2p-2q)y+pq \end{aligned}$$したがって,与えられた式と$x,y$の項の係数を比較すると,$$\left\{ \begin{array}{l} p+3q=4 \\ 2p-2q=-16 \end{array} \right.$$これを解くと,$p=-5,q=3$ゆえに,$$(3x-2y-5)(x+2y+3) =3x^2+4xy-4y^2+4x-16y-15$$したがって,与えられた式は,$$3x^2+4xy-4y^2+4x-16y-15-5=0$$整理すると,$$(3x-2y-5)(x+2y+3)=5$$ゆえに,$$(3x-2y-5,x+2y+3)=(1,5),(5,1),(-1,-5),(-5,-1)$$これを解いて,$$(x,y)=(2,0),(2,-2),\left(-1,-\frac{7}{2}\right),\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$$よって,$x,y$は整数より,$(x,y)=(2,0),(2,-2)$

% 問題A4.2.10
$2x^2-7xy+3y^2+8x-9y-5=0$を満たす整数の組$(x,y)$を求めよ.

% 解答A4.2.10
$$2x^2-7xy+3y^2=(2x-y)(x-3y)$$と因数分解できるので,定数$p,q$を用いて$(2x-y+p)(x-3y+q)$を展開し,与えられた式の左辺と比較する.$$\begin{aligned} (2x-y+p)(x-3y+q)&=(2x-y)(x-3y)+q(2x-y)+p(x-3y)+pq \\ &=2x^2-7xy+3y^2+(p+2q)x-(3p+q)y+pq \end{aligned}$$したがって,与えられた式と$x,y$の項の係数を比較すると,$$\left\{ \begin{array}{l} p+2q=8 \\ -3p-q=-9 \end{array} \right.$$これを解くと,$p=2,q=3$ゆえに,$$(2x-y+2)(x-3y+3) =2x^2-7xy+3y^2+8x-9y+6$$したがって,与えられた式は,$$2x^2-7xy+3y^2+8x-9y+6-11=0$$整理すると,$$(2x-y+2)(x-3y+3)=11$$ゆえに,$$(2x-y+2,x-3y+3)=(1,11),(11,1),(-1,-11),(-11,-1)$$これを解いて,$$(x,y)=\left(-\frac{11}{5},-\frac{17}{5}\right),\left(\frac{29}{5},\frac{13}{5}\right),(1,5),(-7,-1)$$よって,$x,y$は整数より,$(x,y)=(1,5),(-7,-1)$