% 例題A4.2.14：$n$進法の位の数 （One More）★★★
自然数$N$を6進法と9進法で表すと,それぞれ3桁の数$a b c_{(6)}$と$c a b_{(9)}$になるとする.このとき$a,b,c$の値を求めよ.また,$N$を10進法で表せ.
% 解答（例題A4.2.14）
自然数$N$を6進法,9進法で表すと,それぞれ$a b c_{(6)}$と$c a b_{(9)}$であるから,$$1 \leqq a \leqq 5,0 \leqq b \leqq 5,1 \leqq c \leqq 5$$$a b c_{(6)},c a b_{(9)}$をそれぞれ10進法で表すと,$$\begin{aligned} & a b c_{(6)}=a \cdot 6^2+b \cdot 6^1+c \cdot 6^0=36 a+6 b+c \cdots (\mathrm{i}),\\ & c a b_{(9)}=c \cdot 9^2+a \cdot 9^1+b \cdot 9^0=81 c+9 a+b \end{aligned}$$これらが等しいから,$36 a+6 b+c=81 c+9 a+b$したがって,$27 a=80 c-5 b$, すなわち,$27 a=5(16 c-b) \cdots (\mathrm{ii})$これより,5と27は互いに素であるから,$a$は5の倍数である. ゆえに,$1 \leqq a \leqq 5$より,$a=5$これを(ii)に代入して整理すると,$16 c=b+27 \cdots (\mathrm{iii})$これより,$b+27$は16の倍数である. したがって,$0 \leqq b \leqq 5$より,$27 \leqq b+27 \leqq 32$であるから,$b+27=32$ゆえに,$b=5$であり,(iii)より,$1 \leqq c \leqq 5$を満たす整数$c$は,$c=2$よって,$a=5,b=5,c=2$また,この値を(i)に代入すると,$N=36 \cdot 5+6 \cdot 5+2=212$
% 問題A4.2.14
自然数$N$を4進法と7進法で表すと,それぞれ2桁の数$a b_{(4)}$と$b a_{(7)}$になるとする.このとき$a,b$の値を求めよ.また,$N$を10進法で表せ.
% 解答A4.2.14
自然数$N$を4進法,7進法で表すと,それぞれ$a b_{(4)}$と$b a_{(7)}$であるから,$$1 \leqq a \leqq 3,1 \leqq b \leqq 3 \cdots (\mathrm{i})$$$a b_{(4)},b a_{(7)}$をそれぞれ10進法で表すと,$$\begin{aligned} & a b_{(4)}=a \cdot 4^1+b \cdot 4^0=4 a+b \cdots (\mathrm{ii}),\\ & b a_{(7)}=b \cdot 7^1+a \cdot 7^0=7 b+a \end{aligned}$$これらが等しいから,$4 a+b=7 b+a$したがって,$a=2 b$よって,(i)において,これを満たす$a,b$を求めると,$a=2,b=1$また,この値を(ii)に代入すると,$N=4 \cdot 2+1=9$
