【数学A】例題4.2.4：方程式の整数解2（One More）★★

% 例題A4.2.4：方程式の整数解2 （One More）★★
不定方程式$9 x-5 y=1$の整数解をすべて求めよ.

% 解答（例題A4.2.4）
$9 \times(-1)-5 \times(-2)=1$であるから,$x=-1,y=-2$は$9 x-5 y=1$を満たす整数解の1つである. したがって,$$9 x-5 y=1 \cdots (\mathrm{i}),9 \times(-1)-5 \times(-2)=1 \cdots (\mathrm{ii})$$とすると,$(\mathrm{i})-(\mathrm{ii})$より,$9(x+1)-5(y+2)=0$したがって,$9(x+1)=5(y+2) \cdots (\mathrm{iii})$ここで,9と5は互いに素であるから,$x+1$は5の倍数となり,$k$を整数とすると,$x+1=5 k$,すなわち,$x=5 k-1$これを(iii)に代入すると,$9 \times 5 k=5(y+2)$$9 k=y+2$より,$y=9 k-2$よって,一般解は,$x=5 k-1,y=9 k-2(k$は整数)

% 問題A4.2.4
不定方程式$4 x+7 y=1$の整数解をすべて求めよ.

% 解答A4.2.4
$4 \times 2+7 \times(-1)=1$であるから,$x=2,y=-1$は$4 x+7 y=1$を満たす整数解の1つである. したがって,$$4 x+7 y=1 \cdots (\mathrm{i}),4 \times 2+7 \times(-1)=1 \cdots (\mathrm{ii})$$とすると,$(\mathrm{i})-(\mathrm{ii})$より,$4(x-2)+7(y+1)=0$したがって,$4(x-2)=-7(y+1) \cdots (\mathrm{iii})$ここで,4と7は互いに素であるから,$x-2$は7の倍数となり,$k$を整数とすると,$x-2=7 k$,すなわち,$x=7 k+2$これを(iii)に代入すると,$4 \times 7 k=-7(y+1)$$4 k=-(y+1)$より,$y=-4 k-1$よって,一般解は,$x=7 k+2,y=-4 k-1(k$は整数)