節末I5.1.1〜I5.1.3の解答
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章末I5.1〜I5.5の解答
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検索用コード（LaTeX）
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% 節末問題I5.1.1：（One More）★★
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右の図は，生徒数がいずれも40人のA組，B組，C組に100点満点の同じテストを行った結果を箱ひげ図に表したものである．次の(i)〜(iv)の記述のうち，適切ではないものを答えよ．
(i) B組の合計得点はA組の合計得点より小さい．
(ii) A組とB組において，得点が60点以上の人数は同じである．
(iii) B組で得点が50点以上の人数は20人以上である．
(iv) B組の生徒が，A組，B組，C組全体の最高得点をとっている．
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% 節末問題I5.1.1の解答（One More）★★
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(i) A組，B組の得点の平均値は，それぞれおおよそ55点，50点と読み取れる．
A組，B組ともに人数は同じであるから，平均値が小さいB組の合計得点がA組より低く，適切である．
(ii) A組，B組とも中央値が60点であるが，得点が60点以上の生徒の人数は箱ひげ図からは読み取れない．
したがって，60点以上の人数が同じであるとは限らず，適切ではない．
(iii) B組の得点の中央値は60点であるため，少なくとも20人が60点以上の得点をとっている．
したがって，50点以上の人数は20人以上であるので，適切である．
(iv) A組，B組，C組の得点の最大値は，それぞれ90点，100点，90点である．
したがって，B組の最大得点が全体の最高得点であるため，適切である．
よって，適切ではないものは，(ii)
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% 節末問題I5.1.2：（One More）★★
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10人の社員の作業時間を記録したところ，作業時間（時間）の平均値は20，分散は4.5であった．しかし，この10人のうち2人の作業時間が右の表のように修正された．修正後の10人の作業時間の平均値と分散を求めよ．
\begin{tabular}{|c||c|c|}
\hline 社員&修正前&修正後\\
\hline A&18&22\\
\hline B&17&23\\
\hline
\end{tabular}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 節末問題I5.1.2の解答（One More）★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
修正後の作業時間の平均値を$\overline{x}$，分散を$s_x{}^2$，作業時間の2乗の平均値を$\overline{x^2}$とする．
このとき，$\overline{x}=\frac{1}{10}\{20\times 10-(18+17)+(22+23)\}=21\text{(時間)}$
修正前の作業時間の平均値を$\overline{y}$，分散を$s_y{}^2$，作業時間の2乗の平均値を$\overline{y^2}$とする．
このとき，$\overline{y^2}=s_y{}^2+(\overline{y})^2=4.5+20^2=404.5$
したがって，$\overline{x^2}=\frac{1}{10}\{404.5\times 10-(18^2+17^2)+(22^2+23^2)\}=444.5$
よって，$s_x{}^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2=444.5-21^2=3.5$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 節末問題I5.1.3：（One More）★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ある地域で，A地区とB地区の2か所のうち，どちらかに新しい公園を建設する案がある．この地域の住民から無作為に選んだ60人に，どちらの地区が望ましいかを尋ねたところ，38人がB地区を選んだ．この結果から，この地域では，B地区の方が望ましいと考える住民が多いと判断してよいであろうか．起こる割合が$5\%$未満であれば，ほとんど起こり得ないと判断するものとする．ただし，$50\%$の確率で表が出る公正なコインを60枚投げて，表が出た枚数を記録する実験を1000セット行ったところ，右の表のようになったとして，この結果を用いよ．
\begin{tabular}{|c||c|}
\hline
表の枚数&回数\\
\hline
$0\sim 30$&540\\\hline
31&99\\\hline
32&91\\\hline
33&86\\\hline
34&54\\\hline
35&43\\\hline
36&32\\\hline
37&20\\\hline
38&11\\\hline
39&8\\\hline
40&6\\\hline
41&4\\\hline
42&3\\\hline
43&2\\\hline
44&1\\\hline
45&0\\\hline
\end{tabular}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 節末問題I5.1.3の解答（One More）★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
この地域では，B地区の方が望ましいと考える住民が多いと判断してよいかを考察するために，B地区を選んだ人が多かったのは偶然である，という仮説を立てる．このとき，公正なコインの実験結果から，60枚中38枚以上が表となる場合の相対度数は，
\[
\frac{11+8+6+4+3+2+1}{1000}=\frac{35}{1000}=0.035
\]
したがって，起こる割合は$3.5\%$である．
よって，これは$5\%$より小さいから，仮説を棄却する．したがって，この地域では，B地区の方が望ましいと考える住民が多いと判断してよい．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.1：（One More）★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
任意の連続する4個の自然数の分散$s^2$を求めよ．
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% 章末問題I5.1の解答（One More）★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$n$を自然数とすると，任意の連続する4個の自然数は，$n$，$n+1$，$n+2$，$n+3$とおける．
4個の自然数の平均値は，
\[
\frac{1}{4}\{n+(n+1)+(n+2)+(n+3)\}=n+1.5
\]
よって，任意の連続する4個の自然数の分散は，
\begin{align*}
&\frac{1}{4}\{n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2\}-(n+1.5)^2\\
=&\frac{1}{4}(4n^2+12n+14)-(n^2+3n+2.25)\\
=&\frac{14}{4}-2.25=1.25
\end{align*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.2：（One More）★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
変量$x$についてのデータの値が$a,b,c,d,e$であるとする．データ$a,b,c$の平均値が12，分散が4であり，データ$d,e$の平均値が10，分散が2であるとするとき，変量$x$の次の値を求めよ．
(1) 平均値
(2) 分散
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.2の解答（One More）★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
(1) データ$a,b,c$の平均値が12であるから，$\frac{a+b+c}{3}=12$
すなわち，$a+b+c=36\cdots(\mathrm{i})$
データ$d,e$の平均値が10であるから，$\frac{d+e}{2}=10$
すなわち，$d+e=20\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)の辺々を足し合わせると，$a+b+c+d+e=56$
よって，$x$の平均値$\overline{x}$は，
\[
\overline{x}=\frac{a+b+c+d+e}{5}=\frac{56}{5}=11.2
\]
(2) データ$a,b,c$の分散が4であるから，$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-12^2=4$
すなわち，$a^2+b^2+c^2=444\cdots(\mathrm{iii})$
データ$d,e$の分散が2であるから，$\frac{d^2+e^2}{2}-10^2=2$
すなわち，$d^2+e^2=204\cdots(\mathrm{iv})$
(iii)，(iv)の辺々を足し合わせると，$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=648$
よって，$x$の分散は，
\[
\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}{5}-\overline{x}^2=\frac{648}{5}-11.2^2=129.6-125.44=4.16
\]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.3：（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ある実験で得られた$n$個の測定値$x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$の平均が$m$，分散が$\sigma^2$である．$p,q(p>0,q>0)$を正の定数とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+(x_3-x)^2+\cdots+(x_n-x)^2$を最小にする$x$の値を求めよ．
(2) $x_1+p,x_2+p,x_3+p,\ldots,x_n+p$の平均値および分散を求めよ．
(3) $qx_1,qx_2,qx_3,\ldots,qx_n$の平均値および分散を求めよ．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.3の解答（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
(1) $(x_i-x)^2=x_i^2-2x_ix+x^2(i=1,2,\cdots,n)$となることから，与えられた式を整理すると，
\[
nx^2-2(x_1+x_2+\cdots+x_n)x+(x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2)
\]
したがって，
\begin{align*}
&nx^2-2(x_1+x_2+\cdots+x_n)x+(x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2)\\
&=n\{x-\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\}^2-\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\\
&+(x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2)
\end{align*}
よって，$x=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$のとき，すなわち，$x=m$のとき，最小値をとる．
(2)
\begin{align*}
&\begin{aligned}\text{(平均値)}&=\frac{1}{n}\{(x_1+p)+(x_2+p)+\cdots+(x_n+p)\}\\
&=\frac{1}{n}\{(x_1+x_2+\cdots+x_n)+np\}\\
&=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)+p\\
&=m+p,\end{aligned}\\
&\begin{aligned}\text{(分散)}=&\frac{1}{n}\{(x_1+p)^2+(x_2+p)^2+\cdots+(x_n+p)^2\}-(m+p)^2\\
=&\frac{1}{n}\{(x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2)+2p(x_1+x_2+\cdots+x_n)+np^2\}\\
&-(m+p)^2\\
=&\frac{1}{n}(x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2)+2pm+p^2-(m+p)^2\\
=&\frac{1}{n}(x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2)-m^2\\
=&\sigma^2\end{aligned}
\end{align*}
(3)
\begin{align*}
\text{(平均値)}&=\frac{1}{n}\{qx_1+qx_2+\cdots+qx_n\}=q\times\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\\
&=qm,\\
\text{(分散)}&=\frac{1}{n}\{(qx_1)^2+(qx_2)^2+\cdots+(qx_n)^2\}-(qm)^2\\
&=q^2\frac{1}{n}(x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2)-q^2m^2\\
&=q^2(\sigma^2+m^2)-q^2m^2\\
&=q^2\sigma^2
\end{align*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.4：（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ある学校で，120人の生徒が定期テストを受験した．得点の平均値が$m$点，標準偏差が$s$点である試験において，得点が$x$点である受験者の偏差値は$50+\frac{10(x-m)}{s}$で与えられる．Aさんのこのテストの得点は78点であり，偏差値は58であった．また，このテストの得点の平均値は66点であった．
(1) 120人の生徒の得点の標準偏差を求めよ．
(2) 後日，この定期テストを新たに60人が受験し，受験者数は合計で180人となった．その結果，試験の得点の平均値が67点となり，Aさんの偏差値は55となった．新たに受験した60人の受験者の得点について，平均値と標準偏差をそれぞれ求めよ．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.4の解答（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
(1) 最初に受験した120人の得点の標準偏差を$s_x$とする．
Aさんの偏差値より，$50+\frac{10(78-66)}{s_x}=58$
よって，$s_x=15$
(2) 新たに受験した60人の得点の平均値を$\overline{y}$とする．
180人の得点の平均値より，
\[
\frac{66\times 120+\overline{y}\times 60}{120+60}=67
\]
よって，$\overline{y}=69$
180人の得点の平均値を$\overline{z}$，標準偏差を$s_z$，得点の2乗の平均値を$\overline{z^2}$とする．
Aさんの得点の偏差値より，$50+\frac{10(78-67)}{s_z}=55$
したがって，$s_z=22$
$s_z{}^2=\overline{z^2}-(\overline{z})^2$であるから，
\[
\overline{z^2}=s_z{}^2+(\overline{z})^2=22^2+67^2=4973
\]
また，最初に受験した120人の得点の平均値を$\overline{x}$，得点の2乗の平均値を$\overline{x^2}$とすると，$s_x{}^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$であるから，
\[
\overline{x^2}=s_x{}^2+(\overline{x})^2=15^2+66^2=4581
\]
ゆえに，新たに受験した60人の得点の2乗の平均値を$\overline{y^2}$とすると，
\[
\overline{y^2}=\frac{\overline{z^2}\times 180-\overline{x^2}\times 120}{60}=\frac{4973\times 180-4581\times 120}{60}=5757
\]
よって，新たに受験した60人の得点の標準偏差$s_y$は，
\[
s_y=\sqrt{\overline{y^2}-(\overline{y})^2}=\sqrt{5757-69^2}=2\sqrt{249}
\]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.5：（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
右の表は，ある数学のクラスの学生10人について，試験A（代数）と試験B（幾何）の成績を$0,1,2$の3段階で評価した結果を，2次元の度数分布表にまとめたものである．試験Aの得点$x$と試験Bの得点$y$の相関係数$r$を小数第3位まで求めよ．ただし，$\sqrt{70}=8.3666$とする．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline A$\backslash$B&0&1&2&計\\
\hline 0&2&2&0&4\\
\hline 1&0&1&1&2\\
\hline 2&0&1&3&4\\
\hline 計&2&4&4&10\\
\hline
\end{tabular}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 章末問題I5.5の解答（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$x,y$のデータの平均値をそれぞれ$\overline{x},\overline{y}$とすると，下のような表が得られる．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
\hline&$x$&$y$&$x-\overline{x}$&$y-\overline{y}$&$(x-\overline{x})^2$&$(y-\overline{y})^2$&$(x-\overline{x})(y-\overline{y})$\\
\hline
&0&0&$-1$&$-1.2$&$1$&$1.44$&$1.2$\\
&0&0&$-1$&$-1.2$&$1$&$1.44$&$1.2$\\
&0&1&$-1$&$-0.2$&$1$&$0.04$&$0.2$\\
&0&1&$-1$&$-0.2$&$1$&$0.04$&$0.2$\\
&1&1&$0$&$-0.2$&$0$&$0.04$&$0$\\
&1&2&$0$&$0.8$&$0$&$0.64$&$0$\\
&2&1&$1$&$-0.2$&$1$&$0.04$&$-0.2$\\
&2&2&$1$&$0.8$&$1$&$0.64$&$0.8$\\
&2&2&$1$&$0.8$&$1$&$0.64$&$0.8$\\
&2&2&$1$&$0.8$&$1$&$0.64$&$0.8$\\
\hline 計&$10$&$12$&$0$&$0$&$8$&$5.6$&$5$\\
\hline 平均&$1.0$&$1.2$&$0$&$0$&$0.8$&$0.56$&$0.5$\\
\hline\end{tabular}
$x,y$の標準偏差は，それぞれ，
\[
s_x=\sqrt{0.8}=\frac{2\sqrt{5}}{5},s_y=\sqrt{0.56}=\frac{\sqrt{14}}{5}
\]
$x$と$y$の共分散は，$s_{xy}=0.5=\frac{1}{2}$
よって，$x$と$y$の相関係数$r$は，
\[
r=\frac{1}{2}\div(\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{\sqrt{14}}{5})=\frac{25}{4\sqrt{70}}=\frac{5\sqrt{70}}{56}=\frac{5\cdot 8.3666}{56}\fallingdotseq 0.747
\]