問題の解答
検索用コード（LaTeX）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 例題I2.1.14：対偶を用いた証明2（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
次の命題を証明せよ．ただし，$m,n$を整数とする．
$mn$が3の倍数ならば，$m,n$の少なくとも一方は3の倍数である．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 例題I2.1.14の解答（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
もとの命題の対偶「$m,n$がともに3の倍数ではないならば，$mn$は3の倍数ではない」を証明する．
$m,n$がともに3の倍数ではないとき，3で割ったときの余りはそれぞれ$1$または$2$であるから，$k,l$を整数とすると，次の(i)〜(iv)のいずれかの場合で表せる．
(i) $m=3k+1,n=3l+1$のとき
\[
mn=(3k+1)(3l+1)=3(3kl+k+l)+1
\]
$3kl+k+l$は整数であるから，$mn$は3の倍数ではない．
(ii) $m=3k+1,n=3l+2$のとき
\[
mn=(3k+1)(3l+2)=3(3kl+2k+l)+2
\]
$3kl+2k+l$は整数であるから，$mn$は3の倍数ではない．
(iii) $m=3k+2,n=3l+1$のとき
\[
mn=(3k+2)(3l+1)=3(3kl+k+2l)+2
\]
$3kl+k+2l$は整数であるから，$mn$は3の倍数ではない．
(iv) $m=3k+2,n=3l+2$のとき
\[
mn=(3k+2)(3l+2)=3(3kl+2k+2l+1)+1
\]
$3kl+2k+2l+1$は整数であるから，$mn$は3の倍数ではない．
したがって，(i)〜(iv)のいずれの場合も，$mn$は3の倍数ではない．
ゆえに，対偶は真である．
よって，対偶が証明されたから，もとの命題も成り立つ．$\blacksquare$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 問題I2.1.14：対偶を用いた証明2（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
次の命題を証明せよ．ただし，$a,b,c$は整数とする．
$a^2+b^2+c^2$が偶数ならば，$a,b,c$のうち少なくとも$1$つは偶数である．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 問題I2.1.14の解答（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
もとの命題の対偶「$a,b,c$がすべて奇数ならば，$a^2+b^2+c^2$は奇数である」を証明する．$a,b,c$がすべて奇数であるとき，整数$l,m,n$を用いて$a=2l+1,b=2m+1,c=2n+1$と表せるから，
\begin{align*}
a^2+b^2+c^2&=(2l+1)^2+(2m+1)^2+(2n+1)^2\\
&=2(2l^2+2m^2+2n^2+2l+2m+2n+1)+1
\end{align*}
$2l^2+2m^2+2n^2+2l+2m+2n+1$は整数であるから，$a^2+b^2+c^2$は奇数である．
よって，対偶が証明されたから，もとの命題も成り立つ．$\blacksquare$
あわせて読みたい
【数学I】2章：集合と命題（基本事項）
検索用コード（LaTeX） 本文・解答側注 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 基本事項I2.1.1：集合（One More） %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%...
あわせて読みたい
【数学I】2章：集合と命題（節末問題・章末問題）
節末I2.1.1〜I2.1.6の解答 節末I2.1.1節末I2.1.2節末I2.1.3節末I2.1.4節末I2.1.5節末I2.1.6 リンク（関連例題） https://onemath.net/onemorei-reidai2-1-3 https://one...