【数学I】例題2.1.15：背理法を用いた証明1（One More）★★

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% 例題I2.1.15：背理法を用いた証明1（One More）★★
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(1) $\sqrt{2}$は無理数であることを証明せよ．

(2) $\sqrt{2}$は無理数であることを用いて，$\sqrt{2}+1$が無理数であることを証明せよ．

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% 例題I2.1.15の解答（One More）★★
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(1) $\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると，

\[
\sqrt{2}=\frac{m}{n}(m\text{と}n\text{は互いに素な自然数})
\]

と表される．

このとき，$\sqrt{2}n=m$

両辺を2乗すると，$2n^2=m^2\cdots(\mathrm{i})$

$2n^2$は2の倍数であるから，$m^2$も2の倍数である．

したがって，$m$は2の倍数となる．

$m=2k$ $(k\text{は整数})$とおくと，(i)より$2n^2=(2k)^2$

すなわち，$n^2=2k^2$

$2k^2$は2の倍数であるから，$n^2$は2の倍数である．

したがって，$n$は2の倍数となる．

ゆえに，$m,n$はともに2の倍数となり，互いに素であることに矛盾する．

よって，$\sqrt{2}$は無理数である．$\blacksquare$

(2) $\sqrt{2}+1$が有理数であると仮定すると，

\[
\sqrt{2}+1=r(r\text{は有理数})
\]

と表される．

整理すると，$\sqrt{2}=r-1$

$r-1$は有理数であるから，$\sqrt{2}$も有理数となる．

これは，$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾する．

よって，$\sqrt{2}+1$は無理数である．$\blacksquare$

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% 問題I2.1.15：背理法を用いた証明1（One More）★★
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(1) $\sqrt{3}$は無理数であることを証明せよ．

(2) $\sqrt{3}$は無理数であることを用いて，$\sqrt{3}-1$が無理数であることを証明せよ．

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% 問題I2.1.15の解答（One More）★★
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(1) $\sqrt{3}$が有理数であると仮定すると，

\[
\sqrt{3}=\frac{m}{n}(m\text{と}n\text{は互いに素な自然数})
\]

と表される．

このとき，$\sqrt{3}n=m$

両辺を2乗すると，$3n^2=m^2\cdots(\mathrm{i})$

$3n^2$は3の倍数であるから，$m^2$も3の倍数である．

したがって，$m$は3の倍数となる．

$m=3k$ $(k\text{は整数})$とおくと，(i)より$3n^2=(3k)^2$

すなわち，$n^2=3k^2$

$3k^2$は3の倍数であるから，$n^2$は3の倍数である．

したがって，$n$は3の倍数となる．

ゆえに，$m,n$はともに3の倍数となり，互いに素であることに矛盾する．

よって，$\sqrt{3}$は無理数である．$\blacksquare$

(2) $\sqrt{3}-1$が有理数であると仮定すると，

\[
\sqrt{3}-1=r(r\text{は有理数})
\]

と表される．

整理すると，$\sqrt{3}=r+1$

$r+1$は有理数であるから，$\sqrt{3}$も有理数となる．

これは，$\sqrt{3}$が無理数であることに矛盾する．

よって，$\sqrt{3}-1$は無理数である．$\blacksquare$

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% 例題I2.1.15の側注：背理法を用いた証明1（One More）★★
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% 側注1
結論の否定を仮定する（無理数ではないことから，有理数であると仮定する）．

% 側注2
偶数である．

% 側注3
$m^2$が2の倍数ならば，$m$も2の倍数である．

% 側注4
$m,n$がともに2を約数にもつことから，互いに素であることに反する．

% 側注5
結論の否定を仮定する．

% 側注6
\begin{align*}
&\text{(有理数})-(\text{有理数})\\
&=(\text{有理数})
\end{align*}

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% 問題I2.1.15の側注：背理法を用いた証明1（One More）★★
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% 側注1
結論の否定を仮定する（無理数ではないことから，有理数であると仮定する）．

% 側注2
$m^2$が3の倍数ならば，$m$も3の倍数である．

% 側注3
$m,n$がともに3を約数にもつことから，互いに素であることに反する．

% 側注4
\begin{align*}
&\text{(有理数})+(\text{有理数})\\
&=(\text{有理数})
\end{align*}

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% 例題I2.1.15の考え方・補足など：背理法を用いた証明1（One More）★★
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% 考え方
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直接証明するのは，無理数であることを一般的な式で表しにくいので難しい．無理数であることを否定すると，有理数になる．背理法を用いて，$\sqrt{2}$が有理数，すなわち，既約分数で表されると仮定して矛盾を導く．

なお，2つの自然数$a,b$の最大公約数が1であるとき，$a,b$は互いに素であるといい，このとき，$\frac{a}{b}$は既約分数である．

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% One Point
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背理法$\rightarrow$結論の否定を仮定して，矛盾を導く．

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% 注意
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(1)は「$k$が素数のとき，$n^2$が$k$の倍数ならば，$n$も$k$の倍数である$\cdots(\mathrm{i})$」であることを用いている．問題文によっては，「(i)を用いてもよい」などと記されている場合もある．