問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題I2.1.2：2つの集合の共通部分と和集合，補集合（One More）★
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$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$を全体集合とする．$U$の部分集合$A,B$を$A=\{1,2,4,6,8,10\},B=\{1,3,6,9\}$とするとき，次の集合を求めよ．
(1) $A\cap B$
(2) $\overline{A}\cap B$
(3) $\overline{A\cap B}$
(4) $\overline{A}\cup\overline{B}$
(5) $\overline{{A}\cup\overline{B}}$
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% 例題I2.1.2の解答（One More）★
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与えられた条件をもとに，$U,A,B$をベン図で表すと，下の図のようになる．
(1) $A\cap B$は，$A$と$B$の共通部分であるから，
\[
A\cap B=\{1,6\}
\]
(2) $\overline{A}\cap B$は$B$の要素のうち，$A\cap B$の要素ではないものであるから，
\[
\overline{A}\cap B=\{3,9\}
\]
(3) $\overline{A\cap B}$は，$A\cap B$の補集合である．
よって，(1)より，
\[
\overline{A\cap B}=\{2,3,4,5,7,8,9,10\}
\]
(4) $\overline{A}\cup\overline{B}$は，$\overline{A}$と$\overline{B}$の和集合である．
$\overline{A}=\{3,5,7,9\},\overline{B}=\{2,4,5,7,8,10\}$より，
\[
\overline{A}\cup\overline{B}=\{2,3,4,5,7,8,9,10\}
\]
(5) ド・モルガンの法則より，$\overline{{A}\cup\overline{B}}=\overline{A}\cap B$となり，$\overline{{A}\cup\overline{B}}$は，$\overline{A}$と$B$の共通部分である．
よって，(2)より，
\[
\overline{{A}\cup\overline{B}}=\overline{A}\cap B=\{3,9\}
\]
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% 問題I2.1.2：2つの集合の共通部分と和集合，補集合（One More）★
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$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$を全体集合とする．$U$の部分集合$A,B$を$A=\{2,3,5,7,9,10\},B=\{1,5,6,9,12\}$とするとき，次の集合を求めよ．
(1) $A\cap B$
(2) $\overline{A}\cap B$
(3) $\overline{A\cap B}$
(4) $\overline{A}\cup\overline{B}$
(5) $\overline{{\overline{A}}\cup\overline{B}}$
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% 問題I2.1.2の解答（One More）★
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与えられた条件をもとに，$U,A,B$をベン図で表すと，下の図のようになる．
(1) $A\cap B$は，$A$と$B$の共通部分であるから，
\[
A\cap B=\{5,9\}
\]
(2) $\overline{A}\cap B$は$B$の要素のうち，$A\cap B$の要素ではないものであるから，
\[
\overline{A}\cap B=\{1,6,12\}
\]
(3) $\overline{A\cap B}$は，$A\cap B$の補集合である．
よって，(1)より，
\[
\overline{A\cap B}=\{1,2,3,4,6,7,8,10,11,12\}
\]
(4) $\overline{A}\cup\overline{B}$は，$\overline{A}$と$\overline{B}$の和集合である．
$\overline{A}=\{1,4,6,8,11,12\},\overline{B}=\{2,3,4,7,8,10,11\}$より，
\[
\overline{A}\cup\overline{B}=\{1,2,3,4,6,7,8,10,11,12\}
\]
(5) ド・モルガンの法則より，$\overline{{\overline{A}}\cup\overline{B}}=A\cap B$となり，$\overline{{\overline{A}}\cup\overline{B}}$は，$A$と$B$の共通部分である．
よって，(1)より，
\[
\overline{{\overline{A}}\cup\overline{B}}=A\cap B=\{5,9\}
\]
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