問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題I2.1.4：集合の要素の決定（One More）★★★
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$U=\{x\mid x\text{は実数}\}$を全体集合とする．$U$の部分集合
\[
A=\{2,a+1,a^2+a-6\},B=\{2,6,a^2-4,a^2-5a+4\}
\]
とする．$A\cap B=\{0,2\}$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
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% 例題I2.1.4の解答（One More）★★★
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$A\cap B=\{0,2\}$より，$0\in A$であるから，$a+1=0$または$a^2+a-6=0$
(i) $a+1=0$，すなわち，$a=-1$のとき
\[
A=\{-6,0,2\},B=\{-3,2,6,10\}
\]
したがって，$0\notin B$となるから，不適である．
(ii) $a^2+a-6=0$のとき
\[
(a+3)(a-2)=0
\]
したがって$a=-3,2$
（ア）$a=2$のとき
\[
A=\{0,2,3\},B=\{-2,0,2,6\}
\]
したがって，$A\cap B=\{0,2\}$となるから，条件に適する．
（イ）$a=-3$のとき
\[
A=\{-2,0,2\},B=\{2,5,6,28\}
\]
したがって，$0\notin B$となるから，不適である．
よって，(i)，(ii)より，求める$a$の値は$a=2$
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% 問題I2.1.4：集合の要素の決定（One More）★★★
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$U=\{x\mid x\text{は実数}\}$を全体集合とする．$U$の部分集合
\[
A=\{3,a+2,a^2-a-11\},B=\{3,7,a^2-15,a^2-3a+4\}
\]
とする．$A\cap B=\{1,3\}$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
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% 問題I2.1.4の解答（One More）★★★
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$A\cap B=\{1,3\}$より，$1\in A$であるから，$a+2=1$または$a^2-a-11=1$
(i) $a+2=1$，すなわち，$a=-1$のとき
\[
A=\{-9,1,3\},B=\{-14,3,7,8\}
\]
したがって，$1\notin B$となるから，不適である．
(ii) $a^2-a-11=1$，すなわち，$a^2-a-12=0$のとき
\[
(a+3)(a-4)=0
\]
したがって$a=-3,4$
（ア）$a=4$のとき
\[
A=\{1,3,6\},B=\{1,3,7,8\}
\]
したがって，$A\cap B=\{1,3\}$となるから，条件に適する．
（イ）$a=-3$のとき
\[
A=\{-1,1,3\},B=\{-6,3,7,22\}
\]
したがって，$1\notin B$となるから，不適である．
よって，(i)，(ii)より，求める$a$の値は$a=4$
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