【数学I】例題2.1.9：必要条件・十分条件（One More）★★

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% 例題I2.1.9：必要条件・十分条件（One More）★★
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次の$\boxed{\text{}}$に最も適するものを，(i)〜(iv)から選べ．ただし，$x,y$は実数とする．

(1) $x>0$は，$x\geqq 0$であるための$\boxed{\text{}}$．

(2) $x>y$は，$x^4>y^4$であるための$\boxed{\text{}}$．

(3) $x=y=1$は，$2x-y=2y-1=1$であるための$\boxed{\text{}}$．

(4) $\triangle\mathrm{ABC}$において，$\angle\mathrm{A}<90^{\circ}$は，$\triangle\mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$\boxed{\text{}}$．

(i) 必要条件であるが十分条件ではない

(ii) 十分条件であるが必要条件ではない

(iii) 必要十分条件である

(iv) 必要条件でも十分条件でもない

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% 例題I2.1.9の解答（One More）★★
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(1) 「$x>0\Longrightarrow x\geqq 0$」は，真である．

「$x\geqq 0\Longrightarrow x>0$」は，偽である．反例は，$x=0$

よって，(ii)十分条件であるが必要条件ではない

(2) 「$x>y\Longrightarrow x^4>y^4$」は，偽である．反例は，$x=0,y=-1$

「$x^4>y^4\Longrightarrow x>y$」は，偽である．反例は，$x=-1,y=0$

よって，(iv)必要条件でも十分条件でもない

(3) $x=y=1$のとき，$2x-y=2\cdot 1-1=1,2y-1=2\cdot 1-1=1$

したがって，「$x=y=1\Longrightarrow 2x-y=2y-1=1$」は，真である．

$2x-y=2y-1=1$のとき，$2y-1=1$から，$y=1$

また，これを$2x-y=1$に代入すると，$x=1$

したがって，「$2x-y=2y-1=1\Longrightarrow x=y=1$」は，真である．

よって，(iii)必要十分条件である

(4) $\triangle\mathrm{ABC}$において，「$\angle\mathrm{A}<90^{\circ}\Longrightarrow\triangle\mathrm{ABC}$が鋭角三角形」は，偽である．

反例は，$\angle\mathrm{A}=30^{\circ}<90^{\circ},\angle\mathrm{B}=30^{\circ},\angle\mathrm{C}=120^{\circ}$

「$\triangle\mathrm{ABC}$が鋭角三角形$\Longrightarrow\angle\mathrm{A}<90^{\circ}$」は，真である．

よって，(i)必要条件であるが十分条件ではない

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% 問題I2.1.9：必要条件・十分条件（One More）★★
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次の$\boxed{\text{}}$に最も適するものを，(i)〜(iv)から選べ．ただし，$x,y$は実数とする．

(1) $x=2$は，$x^2<10$であるための$\boxed{\text{}}$．

(2) $x+y>10$は，$x>5$かつ$y>5$であるための$\boxed{\text{}}$．

(i) 必要条件であるが十分条件ではない

(ii) 十分条件であるが必要条件ではない

(iii) 必要十分条件である

(iv) 必要条件でも十分条件でもない

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% 問題I2.1.9の解答（One More）★★
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(1) 「$x=2\Longrightarrow x^2<10$」は，真である．

「$x^2<10\Longrightarrow x=2$」は，偽である．反例は，$x=3$

よって，(ii)十分条件であるが必要条件ではない

(2) 「$x+y>10\Longrightarrow$ $x>5$かつ$y>5$」は，偽である．反例は，$x=10,y=1$

「$x>5$かつ$y>5$ $\Longrightarrow$ $x+y>10$」は，真である．

よって，(i)必要条件であるが十分条件ではない

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% 例題I2.1.9の側注：必要条件・十分条件（One More）★★
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% 側注1
$x>0\overset{\text{真}}{\underset{\text{偽}}{\longleftrightarrow}}x\geqq 0$

% 側注2
$x>y\overset{\text{偽}}{\underset{\text{偽}}{\longleftrightarrow}}x^4>y^4$

% 側注3
$x,y$の値を代入して，真であることを確かめる．

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% 問題I2.1.9の側注：必要条件・十分条件（One More）★★
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% 側注1
$2^2<10$

% 側注2
$3^2<10$

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% 例題I2.1.9の考え方・補足など：必要条件・十分条件（One More）★★
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% 考え方
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命題を「$p\Longrightarrow q$」，「$q\Longrightarrow p$」の形に変形して考える．

(i) $p$は必要条件

\[
p\overset{\text{偽}}{\underset{\text{真}}{\longleftrightarrow}}q
\]

(ii) $p$は十分条件

\[
p\overset{\text{真}}{\underset{\text{偽}}{\longleftrightarrow}}q
\]

(iii) $p$は必要十分条件

\[
p\overset{\text{真}}{\underset{\text{真}}{\longleftrightarrow}}q
\]

(iv) 必要条件でも十分条件でもない

\[
p\overset{\text{偽}}{\underset{\text{偽}}{\longleftrightarrow}}q
\]