【数学I】例題3.2.13：2次関数の決定3（One More）★★★

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% 例題I3.2.13：2次関数の決定3（One More）★★★
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次の条件を満たすような放物線をグラフとする2次関数を求めよ．

(1) 頂点が$x$軸上にあり，2点$(0,3),(6,27)$を通る．

(2) 放物線$y=2x^2$を平行移動したもので，点$(1,3)$を通り，頂点が直線$y=-x+1$上にある．

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% 例題I3.2.13の解答（One More）★★★
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(1) 頂点が$x$軸上にあるから，求める2次関数は，$y=a(x-p)^2$と表される．

このグラフが2点$(0,3),(6,27)$を通るから，

\[
ap^2=3\cdots(\mathrm{i}),a(6-p)^2=27\cdots(\mathrm{ii})
\]

(i)$\times 9$と(ii)より，$9ap^2=a(6-p)^2$

$a\neq 0$であるから，$9p^2=(6-p)^2$

したがって，$8p^2+12p-36=0$

ゆえに，$(p+3)(2p-3)=0$

これを解いて，$p=-3,\frac{3}{2}$

(i)より，$p=-3$のとき$a=\frac{1}{3},p=\frac{3}{2}$のとき$a=\frac{4}{3}$

よって，求める2次関数は，$y=\frac{1}{3}(x+3)^2,y=\frac{4}{3}(x-\frac{3}{2})^2$

(2) 放物線$y=2x^2$を平行移動したもので，頂点が直線$y=-x+1$上にあるから，頂点の座標を$(p,-p+1)$とすると，求める2次関数は，$y=2(x-p)^2-p+1\cdots(\mathrm{i})$と表される．

この関数のグラフが点$(1,3)$を通るから，$2(1-p)^2-p+1=3$

したがって，$2(1-2p+p^2)-p+1=3$

ゆえに，$p(2p-5)=0$

これを解いて，$p=0,p=\frac{5}{2}$

(i)より，$p=0$のとき，$y=2(x-0)^2-0+1=2x^2+1$

また，$p=\frac{5}{2}$のとき，$y=2(x-\frac{5}{2})^2-\frac{5}{2}+1=2(x-\frac{5}{2})^2-\frac{3}{2}$

よって，求める2次関数は，$y=2x^2+1,y=2(x-\frac{5}{2})^2-\frac{3}{2}$

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% 問題I3.2.13：2次関数の決定3（One More）★★★
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次の条件を満たすような放物線をグラフとする2次関数を求めよ．

(1) 頂点が$x$軸上にあり，2点$(1,4),(-3,36)$を通る．

(2) 放物線$y=3x^2$を平行移動したもので，点$(2,9)$を通り，頂点が直線$y=2x-3$上にある．

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% 問題I3.2.13の解答（One More）★★★
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(1) 頂点が$x$軸上にあるから，求める2次関数は，$y=a(x-p)^2$と表される．

このグラフが2点$(1,4),(-3,36)$を通るから，

\[
a(1-p)^2=4\cdots(\mathrm{i}),a(p+3)^2=36\cdots(\mathrm{ii})
\]

(i)$\times 9$と(ii)より，$9a(1-p)^2=a(p+3)^2$

$a\neq 0$であるから，$9(1-p)^2=(p+3)^2$

したがって，$p^2-3p=0$

この方程式を解いて，$p=0,3$

(i)より，$p=0$のとき$a=4,p=3$のとき$a=1$

よって，求める2次関数は，$y=4x^2,y=(x-3)^2$

(2) 放物線$y=3x^2$を平行移動したもので，頂点が直線$y=2x-3$上にあるから，頂点の座標を$(p,2p-3)$とすると，求める2次関数は，$y=3(x-p)^2+2p-3\cdots(\mathrm{i})$と表される．

この関数のグラフが点$(2,9)$を通るから，$3(2-p)^2+2p-3=9$

したがって，$3(4-4p+p^2)+2p-3=9$

ゆえに，$p(3p-10)=0$

これを解いて，$p=0,p=\frac{10}{3}$

(i)より，$p=0$のとき，$y=3(x-0)^2+2\cdot 0-3=3x^2-3$

また，$p=\frac{10}{3}$のとき，$y=3(x-\frac{10}{3})^2+2\cdot\frac{10}{3}-3=3(x-\frac{10}{3})^2+\frac{11}{3}$

よって，求める2次関数は，$y=3x^2-3,y=3(x-\frac{10}{3})^2+\frac{11}{3}$

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% 例題I3.2.13の側注：2次関数の決定3（One More）★★★
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% 側注1
求める2次関数は$y=a(x-p)^2+q$と表される．頂点が$x$軸上にあることから，$q=0$とする．

% 側注2
両辺を$4$で割ると，$2p^2+3p-9=0$となることから，たすき掛けを用いる．

% 側注3
頂点$(p,q)$が直線$y=-x+1$上にある．よって，$q=-p+1$から，頂点の座標を$(p,-p+1)$とすることができる．

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% 問題I3.2.13の側注：2次関数の決定3（One More）★★★
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% 側注1
求める2次関数は$y=a(x-p)^2+q$と表される．頂点が$x$軸上にあることから，$q=0$とする．

% 側注2
頂点$(p,q)$が直線$y=2x-3$上にある．よって，$q=2p-3$から，頂点の座標を$(p,2p-3)$とすることができる．

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% 例題I3.2.13の考え方・補足など：2次関数の決定3（One More）★★★
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% 考え方
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頂点に関する条件が与えられているので，標準形$y=a(x-p)^2+q$を用いて考える．

(1) 頂点が$x$軸上にあるから，$q=0$となる．

(2) 「頂点が直線$y=-x+1$上にある」と頂点に関する条件が与えられている．放物線$y=2x^2$を平行移動しているので，求める2次関数の$x^2$の係数も2であることに注意すること．