【数学I】例題3.3.10：2次関数のグラフとx軸の位置関係（One More）★★

% 例題I3.3.10：2次関数のグラフと$x$軸の位置関係 （One More）★★
(1)2次関数$y=x^2+2k x-3k+4$のグラフが,$x$軸と接するような定数$k$の値を求め,その接点の座標を求めよ. (2)2次関数$y=x^2+2k x+k^2+4 k+5$のグラフが,$x$軸と共有点をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ.

% 解答（例題I3.3.10）
(1)$x^2+2 k x-3k+4=0$とする.この2次方程式の判別式を$D$とすると,$$\frac{D}{4}=k^2-1 \cdot (-3k+4)=k^2+3k-4=(k-1)(k+4)$$グラフが$x$軸と接するから,$D=0$したがって,$(k+4)(k-1)=0$ゆえに,$k=-4,1$グラフの頂点の$x$座標は,$x=-\frac{2k}{2 \cdot 1}=-k$であるから, \begin{center}$k=-4$のとき,$x=4$であり,$k=1$のとき,$x=-1$である. \end{center} よって,接点の座標は,$$\begin{alignedat}{2} &k=-4 \text{ のとき,} &&\text{ 接点}(4,0)\\ &k=1 \text{ のとき,} &&\text{ 接点}(-1,0) \end{alignedat}$$(2)共有点の$x$座標は,$x^2+2k x+k^2+4 k+5=0$の実数解である.この2次方程式の判別式を$D$とすると,$$\frac{D}{4}=k^2-\left(k^2+4 k+5\right)=-4 k-5$$グラフが$x$軸と共有点をもつから,$D \geqq 0$したがって,$-4 k-5 \geqq 0$よって,$k \leqq -\frac{5}{4}$

% 問題I3.3.10
(1)2次関数$y=x^2-2k x+4k-3$のグラフが,$x$軸と接するような定数$k$の値を求め,その接点の座標を求めよ. (2)2次関数$y=x^2+2k x+k^2+3k+9$のグラフが,$x$軸と共有点をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ.

% 解答I3.3.10
(1)$x^2-2k x+4k-3=0$とする.この2次方程式の判別式を$D$とすると,$$\frac{D}{4}=(-k)^2-1 \cdot (4k-3)=k^2-4k+3=(k-3)(k-1)$$グラフが$x$軸と接するから,$D=0$したがって,$(k-3)(k-1)=0$ゆえに,$k=3,1$グラフの頂点の$x$座標は,$x=-\frac{-2k}{2 \cdot 1}=k$であるから, \begin{center}$k=3$のとき,$x=3$であり,$k=1$のとき,$x=1$である. \end{center} よって,接点の座標は,$$\begin{alignedat}{2} &k=3 \text{ のとき,} &&\text{ 接点}(3,0)\\ &k=1 \text{ のとき,} &&\text{ 接点}(1,0) \end{alignedat}$$(2)共有点の$x$座標は,$x^2+2k x+k^2+3k+9=0$の実数解である.この2次方程式の判別式を$D$とすると,$$\frac{D}{4}=k^2-(k^2+3k+9)=-3k-9$$グラフが$x$軸と共有点をもつから,$D \geqq 0$したがって,$-3k-9 \geqq 0$よって,$k \leqq -3$