【数学I】例題3.3.10：2次関数のグラフとx軸の位置関係（One More）★★

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% 例題I3.3.10：2次関数のグラフと$x$軸の位置関係（One More）★★
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(1) 2次関数$y=x^2+2kx-3k+4$のグラフが，$x$軸と接するような定数$k$の値を求め，その接点の座標を求めよ．

(2) 2次関数$y=x^2+2kx+k^2+4k+5$のグラフが，$x$軸と共有点をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．

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% 例題I3.3.10の解答（One More）★★
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(1) $x^2+2kx-3k+4=0$とする．この2次方程式の判別式を$D$とすると，

\[
\frac{D}{4}=k^2-1\cdot(-3k+4)=k^2+3k-4=(k-1)(k+4)
\]

グラフが$x$軸と接するから，$D=0$

したがって，$(k+4)(k-1)=0$

ゆえに，$k=-4,1$

グラフの頂点の$x$座標は，$x=-\frac{2k}{2\cdot 1}=-k$であるから，

$k=-4$のとき，$x=4$であり，$k=1$のとき，$x=-1$である．

よって，接点の座標は，

\begin{align*}
&k=-4\text{のとき，}&&\text{接点}(4,0)\\
&k=1\text{のとき，}&&\text{接点}(-1,0)
\end{align*}

(2) 共有点の$x$座標は，$x^2+2kx+k^2+4k+5=0$の実数解である．この2次方程式の判別式を$D$とすると，

\[
\frac{D}{4}=k^2-(k^2+4k+5)=-4k-5
\]

グラフが$x$軸と共有点をもつから，$D\geqq 0$

したがって，$-4k-5\geqq 0$

よって，$k\leqq-\frac{5}{4}$

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% 問題I3.3.10：2次関数のグラフと$x$軸の位置関係（One More）★★
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(1) 2次関数$y=x^2-2kx+4k-3$のグラフが，$x$軸と接するような定数$k$の値を求め，その接点の座標を求めよ．

(2) 2次関数$y=x^2+2kx+k^2+3k+9$のグラフが，$x$軸と共有点をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．

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% 問題I3.3.10の解答（One More）★★
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(1) $x^2-2kx+4k-3=0$とする．この2次方程式の判別式を$D$とすると，

\[
\frac{D}{4}=(-k)^2-1\cdot(4k-3)=k^2-4k+3=(k-3)(k-1)
\]

グラフが$x$軸と接するから，$D=0$

したがって，$(k-3)(k-1)=0$

ゆえに，$k=3,1$

グラフの頂点の$x$座標は，$x=-\frac{-2k}{2\cdot 1}=k$であるから，

$k=3$のとき，$x=3$であり，$k=1$のとき，$x=1$である．

よって，接点の座標は，

\begin{align*}
&k=3\text{のとき，}&&\text{接点}(3,0)\\
&k=1\text{のとき，}&&\text{接点}(1,0)
\end{align*}

(2) 共有点の$x$座標は，$x^2+2kx+k^2+3k+9=0$の実数解である．この2次方程式の判別式を$D$とすると，

\[
\frac{D}{4}=k^2-(k^2+3k+9)=-3k-9
\]

グラフが$x$軸と共有点をもつから，$D\geqq 0$

したがって，$-3k-9\geqq 0$

よって，$k\leqq-3$

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% 例題I3.3.10の側注：2次関数のグラフと$x$軸の位置関係（One More）★★
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% 側注1
$x$軸は直線$y=0$であることから，$y=0$とおいた，$x^2+2kx-3k+4=0$とする．

% 側注2
頂点の座標は$x=-\frac{b}{2a}$を用いて求められる．なお，$k$の値を$x^2+2kx-3k+4=0$に代入して，方程式を解くことで$x$の値を求めてもよい（$k$を次のように場合分けする）．

$k=-4$のとき

\begin{align*}
&x^2+2kx-3k+4\\
=&x^2-8x+16\\
=&(x-4)^2
\end{align*}

$k=1$のとき

\begin{align*}
&x^2+2kx-3k+4\\
=&x^2+2x+1\\
=&(x+1)^2
\end{align*}

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% 問題I3.3.10の側注：2次関数のグラフと$x$軸の位置関係（One More）★★
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% 側注1
$x$軸は直線$y=0$であることから，$y=0$とおいた，$x^2-2kx+4k-3=0$とする．

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% 例題I3.3.10の考え方・補足など：2次関数のグラフと$x$軸の位置関係（One More）★★
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% 考え方
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(1) 2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式を$D$とすると，$D=b^2-4ac$（解答では$\frac{D}{4}=0$を用いている）であり，2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフにおいて，

グラフが$x$軸に接する$\Longleftrightarrow D=b^2-4ac=0$

また，接点の$x$座標は，グラフの頂点の$x$座標$x=-\frac{b}{2a}$を用いて求められる．

(2) 「$x$軸と共有点をもつ」とは$D>0$と$D=0$を合わせたものである．したがって，$x$軸と共有点をもつ条件は，$D\geqq 0$と表される（解答では$\frac{D}{4}\geqq 0$を用いている）．