【数学I】例題3.3.12：2次関数のグラフと係数の符号（One More）★★

% 例題I3.3.12：2次関数のグラフと係数の符号 （One More）★★
2次関数$y=a x^2+b x+c$のグラフが右の図のようなとき,次の値の符号を調べよ. (1)$a$(2)$b$(3)$c$(4)$b^2-4 a c$(5)$a+b+c$

% 解答（例題I3.3.12）
(1)グラフは下に凸であるから,$a>0$(2)軸は直線$x=-\frac{b}{2 a}$軸が$y$軸より右側にあるから,$-\frac{b}{2 a}>0$よって,(1)より,$a>0$であるから,$b<0$(3)$y$軸との共有点は点$(0,c)$よって,グラフは$y$軸と$y>0$の部分で交わっているから,$c>0$(4)2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式を$D$とすると,$D=b^2-4ac$x$軸と異なる2点で交わっているから,$D>0$よって,$b^2-4 a c>0$(5)$x=1$のとき,$y=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=a+b+c$よって,グラフより,$x=1$のとき,$y<0$であるから,$a+b+c<0$

% 問題I3.3.12
2次関数$y=a x^2+b x+c$のグラフが右の図のようなとき,次の値の符号を調べよ.ただし,$a<0$とする. (1)$a$(2)$b$(3)$c$(4)$b^2-4 a c$(5)$a+b+c$

% 解答I3.3.12
(1)グラフは上に凸であるから,$a<0$(2)軸は直線$x=-\frac{b}{2 a}$軸が$y$軸より右側にあるから,$-\frac{b}{2 a}>0$よって,$a<0$であるから,$b>0$(3)$y$軸との共有点は点$(0,c)$よって,グラフは$y$軸と$y>0$の部分で交わっているから,$c>0$(4)2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式を$D$とすると,$D=b^2-4ac$x$軸と異なる2点で交わっているから,$D>0$よって,$b^2-4 a c>0$(5)$x=1$のとき,$y=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=a+b+c$よって,グラフより,$x=1$のとき,$y>0$であるから,$a+b+c>0$