【数学I】例題3.3.19：文字係数の2次不等式（One More）★★★

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% 例題I3.3.19：文字係数の2次不等式（One More）★★★
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次の2次不等式を解け．ただし，$a$を定数とする．

(1) $x^2-(a+6)x+6a<0$

(2) $ax^2-4ax+3a>0$

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% 例題I3.3.19の解答（One More）★★★
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(1) $x^2-(a+6)x+6a<0$より，$(x-a)(x-6)<0\cdots(\mathrm{i})$

$y=x^2-(a+6)x+6a$とすると，このグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は，$x=a,6$

（ア）$a>6$のとき

不等式(i)の解は，$6<x<a$

（イ）$a=6$のとき

不等式(i)の解はない

（ウ）$a<6$のとき

不等式(i)の解は，$a<x<6$

よって，（ア）〜（ウ）より，求める解は，

\[
\{\begin{alignedat}{2}&a>6\text{のとき，}&&6<x<a\\&a=6\text{のとき，}&&\text{解はない}\\&a<6\text{のとき，}&&a<x<6\\\end{alignedat}
\]

（ア）

（イ）

（ウ）

(2) $ax^2-4ax+3a>0$より，$a(x^2-4x+3)>0$

したがって，$a(x-1)(x-3)>0\cdots(\mathrm{i})$

$y=ax^2-4ax+3a$とすると，このグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は，$x=1,3$

与えられた不等式は2次不等式であるから，$a\neq 0$（ア）$a>0$のとき

不等式(i)の解は，$x<1,3<x$

（イ）$a<0$のとき

不等式(i)の解は，$1<x<3$

よって，（ア），（イ）より，求める解は，

（ア）

（イ）

\[
\{\begin{alignedat}{2}&a>0\text{のとき，}&&x<1,3<x\\&a<0\text{のとき，}&&1<x<3\\\end{alignedat}
\]

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% 問題I3.3.19：文字係数の2次不等式（One More）★★★
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次の2次不等式を解け．ただし，$a$を定数とする．

(1) $x^2-4ax+3a^2>0$

(2) $ax^2-5ax+4a<0$

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% 問題I3.3.19の解答（One More）★★★
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(1) $x^2-4ax+3a^2>0$より，$(x-a)(x-3a)>0\cdots(\mathrm{i})$

$y=x^2-4ax+3a^2$とすると，このグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は，$x=a,3a$

（ア）$a>0$のとき

不等式(i)の解は，$x<a,3a<x$

（イ）$a=0$のとき

不等式(i)の解は，0以外のすべての実数

（ウ）$a<0$のとき

不等式(i)の解は，$x<3a,a<x$

よって，（ア）〜（ウ）より，求める解は，

\[
\{\begin{alignedat}{2}&a>0\text{のとき，}&&x<a,3a<x\\&a=0\text{のとき，}&&\text{0以外のすべての実数}\\&a<0\text{のとき，}&&x<3a,a<x\\\end{alignedat}
\]

（ア）

（イ）

（ウ）

(2) $ax^2-5ax+4a<0$より，$a(x^2-5x+4)<0$

したがって，$a(x-1)(x-4)<0\cdots(\mathrm{ii})$

$y=ax^2-5ax+4a$とすると，このグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は，$x=1,4$

与えられた不等式は2次不等式であるから，$a\neq 0$（ア）$a>0$のとき

不等式(ii)の解は，$1<x<4$

（イ）$a<0$のとき

不等式(ii)の解は，$x<1,4<x$

よって，（ア），（イ）より，求める解は，

（ア）

（イ）

\[
\{\begin{alignedat}{2}&a>0\text{のとき，}&&1<x<4\\&a<0\text{のとき，}&&x<1,4<x\\\end{alignedat}
\]

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% 例題I3.3.19の側注：文字係数の2次不等式（One More）★★★
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% 側注1
2つの解の大小関係を考えて，場合分けをする．（ア）$a$が$6$より大きいとき，（イ）$a$が$6$と等しいとき，（ウ）$a$が$6$より小さいときの3つの場合がある．

% 側注2
問題文では「2次不等式」となっていることから，$a\neq 0$である．なお，$a\neq 0$であることから，両辺を$a$で割っても求めることができるが，$a<0$のときは不等号の向きが変わるので注意すること．

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% 問題I3.3.19の側注：文字係数の2次不等式（One More）★★★
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% 側注1
2つの解の大小関係を考えて，場合分けをする．$a>0$のとき，$a<3a$となり，$a<0$のとき，$a>3a$となる．

% 側注2
問題文では「2次不等式」となっていることから，$a\neq 0$である．

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% 例題I3.3.19の考え方・補足など：文字係数の2次不等式（One More）★★★
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% 考え方
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(1) グラフと$x$軸との共有点を求め，共有点の$x$座標の大小関係によって場合分けをして，2次不等式を解く．

(2) $a$の値によって上に凸か下に凸かが変わるので，$a>0,a<0$で場合分けをする．