【数学I】例題3.3.21：2次方程式が実数解をもつ条件3（One More）★★★

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% 例題I3.3.21：2次方程式が実数解をもつ条件3（One More）★★★
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次の問いに答えよ．ただし，$k$を定数とする．

(1) $x$についての2次方程式$3x^2-kx+k+2=0$が実数解をもたないような$k$の値の範囲を求めよ．

(2) $x$についての方程式$kx^2-2(k-3)x+4=0$の実数解の個数を求めよ．

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% 例題I3.3.21の解答（One More）★★★
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(1) 与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると，

\[
D=(-k)^2-4\cdot 3\cdot(k+2)=k^2-12k-24
\]

2次方程式が実数解をもたないから，$D<0$

したがって，$k^2-12k-24<0$

$k^2-12k-24=0$を解くと，$k=6\pm 2\sqrt{15}$

よって，$6-2\sqrt{15}<k<6+2\sqrt{15}$

(2) $kx^2-2(k-3)x+4=0\cdots(\mathrm{i})$とする．

（ア）$k=0$のとき，(i)は$6x+4=0$

これを解くと，$x=-\frac{2}{3}$であり，このとき，実数解の個数は1個

（イ）$k\neq 0$のとき，2次方程式(i)の判別式を$D$とすると，

\[
\frac{D}{4}=(k-3)^2-k\cdot 4=k^2-10k+9=(k-1)(k-9)
\]

$D>0$のとき，$(k-1)(k-9)>0$

これを解くと，$k<1,9<k$

$k\neq 0$より，$k<0,0<k<1,9<k$であり，このとき，実数解の個数は2個

$D=0$のとき，$(k-1)(k-9)=0$

これを解くと，$k=1,9$であり，このとき，実数解の個数は1個

$D<0$のとき，$(k-1)(k-9)<0$

これを解くと，$1<k<9$であり，このとき，実数解の個数は0個

よって，（ア），（イ）より，求める実数解の個数は，

\[
\{\begin{alignedat}{2}&k<0,0<k<1,9<k\text{のとき，}&&\text{2個}\\&k=0,1,9\text{のとき，}&&\text{1個}\\&1<k<9\text{のとき，}&&\text{0個}\\\end{alignedat}
\]

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% 問題I3.3.21：2次方程式が実数解をもつ条件3（One More）★★★
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次の問いに答えよ．ただし，$k$を定数とする．

(1) $x$についての2次方程式$4x^2-kx+k-3=0$が実数解をもたないような$k$の値の範囲を求めよ．

(2) $x$についての方程式$(k+3)x^2+2(k-1)x+2=0$の実数解の個数を求めよ．

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% 問題I3.3.21の解答（One More）★★★
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(1) 与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると，

\[
D=(-k)^2-4\cdot 4\cdot(k-3)=k^2-16k+48
\]

2次方程式が実数解をもたないから，$D<0$

したがって，$k^2-16k+48<0$

因数分解すると，$(k-4)(k-12)<0$

よって，$4<k<12$

(2) $(k+3)x^2+2(k-1)x+2=0\cdots(\mathrm{i})$とする．

（ア）$k=-3$のとき，(i)は$-8x+2=0$

これを解くと，$x=\frac{1}{4}$であり，このとき，実数解の個数は1個

（イ）$k\neq-3$のとき，2次方程式(i)の判別式を$D$とすると，

\[
\frac{D}{4}=(k-1)^2-(k+3)\cdot 2=k^2-4k-5=(k+1)(k-5)
\]

$D>0$のとき，$(k+1)(k-5)>0$

これを解くと，$k<-1,5<k$

したがって，$k\neq-3$より，$k<-3,-3<k<-1,5<k$であり，このとき，実数解の個数は2個

$D=0$のとき，$(k+1)(k-5)=0$

これを解くと，$k=-1,5$であり，このとき，実数解の個数は1個

$D<0$のとき，$(k+1)(k-5)<0$

これを解くと，$-1<k<5$であり，このとき，実数解の個数は0個

よって，（ア），（イ）より，求める実数解の個数は，

\[
\{\begin{alignedat}{2}&k<-3,-3<k<-1,5<k\text{のとき，}&&\text{2個}\\&k=-3,k=-1,k=5\text{のとき，}&&\text{1個}\\&-1<k<5\text{のとき，}&&\text{0個}\\\end{alignedat}
\]

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% 例題I3.3.21の側注：2次方程式が実数解をもつ条件3（One More）★★★
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% 側注1
問題文では「方程式」となっていることから，$x^2$の係数が$0$になる$k=0$のときを考える．$k=0$のときは1次方程式となることに注意すること．

% 側注2
$k\neq 0$であることに注意すること．

% 側注3
$k$についての2次不等式を解く．

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% 問題I3.3.21の側注：2次方程式が実数解をもつ条件3（One More）★★★
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% 側注1
問題文では「方程式」となっていることから，$x^2$の係数が$0$になる$k=-3$のときを考える．

% 側注2
$k\neq-3$であることに注意すること．

% 側注3
$k$についての2次不等式を解く．

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% 例題I3.3.21の考え方・補足など：2次方程式が実数解をもつ条件3（One More）★★★
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% 考え方
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2次方程式$ax^2+bx+c=0$の実数解の個数は，判別式を$D=b^2-4ac$とすると，$D>0$のとき2個，$D=0$のとき1個，$D<0$のとき0個であることを利用する．