【数学I】例題3.3.32：条件なし2変数関数（One More）★★★

% 例題I3.3.32：条件なし2変数関数 （One More）★★★
次の関数の最小値と,そのときの$x,y$の値を求めよ. (1)$x,y$の関数$P=x^2+2 y^2+6 x-4 y+3$の最小値を求めよ. (2)$x,y$の関数$Q=x^2-2 x y+2y^2+4 x-3 y+8$の最小値を求めよ.

% 解答（例題I3.3.32）
(1)$\begin{aligned} P &=x^2+6 x+2 y^2-4 y+3 \\ &=(x+3)^2-3^2+2 y^2-4 y+3 \\ &=(x+3)^2+2(y-1)^2-2 \cdot 1^2-6 \\ &=(x+3)^2+2(y-1)^2-8 \end{aligned}$$x,y$は実数であるから,$$(x+3)^2 \geqq 0,(y-1)^2 \geqq 0$$したがって,$P$は$x+3=0,y-1=0$のとき最小となる. よって,$x=-3,y=1$のとき,最小値$-8$(2)$\begin{aligned} Q &=x^2-2 x y+2y^2+4 x-3 y+8 \\ &=x^2-2(y-2)x+2y^2-3 y+8 \\ &=\{x-(y-2)\}^2-(y-2)^2+2y^2-3 y+8 \\ &=(x-y+2)^2+y^2+y+4 \\ &=(x-y+2)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \\ &=(x-y+2)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4} \end{aligned}$$x,y$は実数であるから,$$(x-y+2)^2 \geqq 0,\left(y+\frac{1}{2}\right)^2 \geqq 0$$したがって,$Q$は$x-y+2=0,y+\frac{1}{2}=0$のとき最小となる.$x-y+2=0,y+\frac{1}{2}=0$を解くと,$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{1}{2}$よって,$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{1}{2}$のとき,最小値$\frac{15}{4}$

% 問題I3.3.32
次の関数の最小値と,そのときの$x,y$の値を求めよ. (1)$x,y$の関数$P=x^2+3 y^2-4 x+2 y+5$の最小値を求めよ. (2)$x,y$の関数$Q=x^2+4xy+5y^2-4x-4y+7$の最小値を求めよ.

% 解答I3.3.32
(1)$\begin{aligned} P &=x^2-4 x+3 y^2+2 y+5 \\ &=(x-2)^2-2^2+3 y^2+2 y+5 \\ &=(x-2)^2+3\left(y+\frac{1}{3}\right)^2-3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2+1 \\ &=(x-2)^2+3\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3} \end{aligned}$$x,y$は実数であるから,$(x-2)^2 \geqq 0,\left(y+\frac{1}{3}\right)^2 \geqq 0$したがって,$P$は$x-2=0,y+\frac{1}{3}=0$のとき最小となる. よって,$x=2,y=-\frac{1}{3}$のとき,最小値$\frac{2}{3}$(2)$\begin{aligned} Q &=x^2+4xy+5y^2-4x-4y+7 \\ &=x^2+2(2y-2)x+5y^2-4y+7 \\ &=\{x+(2y-2)\}^2-(2y-2)^2+5y^2-4y+7 \\ &=(x+2y-2)^2+y^2+4y+3\\ &=(x+2y-2)^2+(y+2)^2-2^2+3\\ &=(x+2y-2)^2+(y+2)^2-1 \end{aligned}$$x,y$は実数であるから,$\left(x+2y-2\right)^2 \geqq 0,(y+2)^2 \geqq 0$したがって,$Q$は$x+2y-2=0,y+2=0$のとき最小となる.$x+2y-2=0,y+2=0$を解くと,$x=6,y=-2$よって,$x=6,y=-2$のとき,最小値$-1$