【数学I】例題3.3.7：2次方程式が実数解をもつ条件2（One More）★★

% 例題I3.3.7：2次方程式が実数解をもつ条件2 （One More）★★
$x$についての2つの2次方程式$3 x^2+4 x+k-3=0,x^2-(2k+3)x+k^2-2=0$がともに実数解をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ.

% 解答（例題I3.3.7）
2次方程式$3 x^2+4 x+(k-3)=0$の判別式を$D_1$とすると,$$D_1=4^2-4 \cdot 3 \cdot (k-3) =16-12k+36 =52-12k$$2次方程式が実数解をもつから,$D_1 \geqq 0$したがって,$52-12k \geqq 0$ゆえに,$$k \leqq\frac{13}{3} \cdots (\mathrm{i})$$2次方程式$x^2-(2k+3)x+\left(k^2-2\right)=0$の判別式を$D_2$とすると,$$D_2=\{-(2k+3)\}^2-4 \cdot 1 \cdot \left(k^2-2\right) =4k^2+12k+9-4k^2+8 =12k+17$$2次方程式が実数解をもつから,$D_2 \geqq 0$したがって,$12k+17 \geqq 0$ゆえに,$$k \geqq -\frac{17}{12} \cdots (\mathrm{ii})$$よって,(i)と(ii)の共通範囲を求めると,$$-\frac{17}{12} \leqq k \leqq\frac{13}{3}$$

% 問題I3.3.7
$x$についての2つの2次方程式$x^2-2x-k+2=0,x^2+(2k-1)x+k^2+2=0$がともに実数解をもたないような定数$k$の値の範囲を求めよ.

% 解答I3.3.7
2次方程式$x^2-2x-(k-2)=0$の判別式を$D_1$とすると,$$D_1=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-k+2) =4+4k-8 =4k-4$$2次方程式が実数解をもたないから,$D_1<0$したがって,$4k-4<0$ゆえに,$k<1 \cdots (\mathrm{i})$2次方程式$x^2+(2k-1)x+(k^2+2)=0$の判別式を$D_2$とすると,$$D_2=(2k-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (k^2+2) =4k^2-4k+1-4k^2-8 =-4k-7$$2次方程式が実数解をもたないから,$D_2<0$したがって,$-4k-7<0$ゆえに,$k>-\frac{7}{4} \cdots (\mathrm{ii})$よって,(i)と(ii)の共通範囲を求めると,$$-\frac{7}{4}<k<1$$