【数学A】例題1.1.2：集合の要素の個数2（One More）★

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% 例題A1.1.2：集合の要素の個数2（One More）★
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100人の社員に英語研修とコンピュータ研修の参加状況を調査したところ，英語研修に参加している社員は72人，両方の研修に参加している社員は18人，どちらの研修にも参加していない社員は16人であった．このとき，次の社員の人数を求めよ．

(1) 少なくとも1つの研修に参加している社員

(2) コンピュータ研修に参加している社員

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% 例題A1.1.2の解答（One More）★
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100人の社員全体の集合を$U$，英語研修に参加している社員の集合を$A$，コンピュータ研修に参加している社員の集合を$B$とすると，

\[
n(U)=100,n(A)=72,n(A\cap B)=18,n(\overline{A}\cap\overline{B})=16
\]

(1) 少なくとも1つの研修に参加している社員の集合は$A\cup B$であるから，その人数は，

\begin{align*}
n(A\cup B)&=n(U)-n(\overline{A\cup B})\\
&=n(U)-n(\overline{A}\cap\overline{B})\\
&=100-16=84(\text{人})
\end{align*}

(2) $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$より，コンピュータ研修に参加している社員の人数$n(B)$は，

\[
n(B)=n(A\cup B)-n(A)+n(A\cap B)=84-72+18=30(\text{人})
\]

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% 問題A1.1.2：集合の要素の個数2（One More）★
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200人の学生を対象に数学の講座と理科の講座の参加状況を調査したところ，数学の講座に参加している学生は120人，両方の講座に参加している学生は50人，どちらの講座にも参加していない学生は30人であった．このとき，次の学生の人数を求めよ．

(1) 少なくとも1つの講座に参加している学生

(2) 理科の講座に参加している学生

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% 問題A1.1.2の解答（One More）★
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200人の学生全体の集合を$U$，数学の講座に参加している学生の集合を$A$，理科の講座に参加している学生の集合を$B$とすると，

\[
n(U)=200,n(A)=120,n(A\cap B)=50,n(\overline{A}\cap\overline{B})=30
\]

(1) 少なくとも1つの講座に参加している学生の集合は$A\cup B$であるから，その人数は，

\begin{align*}
n(A\cup B)&=n(U)-n(\overline{A\cup B})\\
&=n(U)-n(\overline{A}\cap\overline{B})\\
&=200-30=170(\text{人})
\end{align*}

(2) $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$より，理科の講座に参加している学生の人数$n(B)$は，

\[
n(B)=n(A\cup B)-n(A)+n(A\cap B)=170-120+50=100(\text{人})
\]

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% 例題A1.1.2の側注：集合の要素の個数2（One More）★
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% 側注1
どちらの研修にも参加していない社員の集合は$\overline{A}\cap\overline{B}$である．

% 側注2
ド・モルガンの法則
\[
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}
\]

% 側注3
(1)より，$n(A\cup B)=84$

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% 問題A1.1.2の側注：集合の要素の個数2（One More）★
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% 側注1
どちらの講座にも参加していない学生の集合は$\overline{A}\cap\overline{B}$である．

% 側注2
ド・モルガンの法則
\[
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}
\]

% 側注3
(1)より，$n(A\cup B)=170$

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% 例題A1.1.2の考え方・補足など：集合の要素の個数2（One More）★
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% 考え方
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図をかいて考えるとよい．全体集合を$U$とし，英語研修に参加している社員の集合を$A$，コンピュータ研修に参加している社員の集合を$B$とすると，求める人数の集合はそれぞれ右の図のようになる．

(2) $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$を整理して得られる$n(B)=n(A\cup B)-n(A)+n(A\cap B)$と(1)で求めた$n(A\cup B)$を利用する．

(1)

(2)

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% One Point
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補集合の要素の個数

\[
{n(\overline{A})=n(U)-n(A)}
\]

ド・モルガンの法則

\[
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B},\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}
\]