問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A1.1.3：3つの集合の要素の個数（One More）★★★
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80人の顧客に対して，講座A，講座B，講座Cの受講状況を調査したところ，講座Aを受講している顧客は46人，講座Bを受講している顧客は34人，講座Cを受講している顧客は38人であり，講座Aと講座Bの両方を受講している顧客は15人，講座Bと講座Cの両方を受講している顧客は17人，講座Cと講座Aの両方を受講している顧客は14人であった．このとき，次の場合の人数を求めよ．ただし，80人の顧客は全員，3つの講座のうち少なくとも1つを受講しているものとする．
(1) 3つの講座すべてを受講している顧客
(2) 講座Aだけを受講している顧客
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% 例題A1.1.3の解答（One More）★★★
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80人の顧客全体の集合を$U$とし，講座A，講座B，講座Cを受講している顧客の集合をそれぞれ$A,B,C$とすると，3つの講座すべてを受講している顧客の集合は$A\cap B\cap C$である．
\begin{align*}
&n(U)=80,n(A)=46,n(B)=34,n(C)=38,\\
&n(A\cap B)=15,n(B\cap C)=17,n(C\cap A)=14
\end{align*}
であり，80人の顧客は全員，3つの講座のうち少なくとも1つを受講しているので，
\[
n(\overline{A\cup B\cup C})=0,n(A\cup B\cup C)=n(U)=80
\]
したがって，
\begin{align*}
n(A\cup B\cup C)=&n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)\\
&+n(A\cap B\cap C)
\end{align*}
であるから，$80=46+34+38-15-17-14+n(A\cap B\cap C)$
よって，$n(A\cap B\cap C)=8$より，3つの講座すべてを受講しているのは8（人）
(2) 講座Aだけ受講している顧客の集合は$A\cap\overline{B}\cap\overline{C}$であるから，
\begin{align*}
&n(A\cap\overline{B}\cap\overline{C})\\
=&n(A\cup B\cup C)-n(B\cup C)\\
=&n(A\cup B\cup C)-\{n(B)+n(C)-n(B\cap C)\}\\
=&80-(34+38-17)=25
\end{align*}
よって，講座Aだけを受講しているのは25（人）
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% 問題A1.1.3：3つの集合の要素の個数（One More）★★★
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1から100までの整数のうち，2でも3でも5でも割り切れない整数の個数を求めよ．
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% 問題A1.1.3の解答（One More）★★★
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1から100までの整数の集合を全体集合$U$とし，2の倍数，3の倍数，5の倍数の集合をそれぞれ，$A,B,C$とすると，
\begin{align*}
&A=\{2\times 1,2\times 2,\ldots,2\times 50\},\\
&B=\{3\times 1,3\times 2,\ldots,3\times 33\},\\
&C=\{5\times 1,5\times 2,\ldots,5\times 20\},\\
&A\cap B=\{6\times 1,6\times 2,\ldots,6\times 16\},\\
&B\cap C=\{15\times 1,15\times 2,\ldots,15\times 6\},\\
&C\cap A=\{10\times 1,10\times 2,\ldots,10\times 10\},\\
&A\cap B\cap C=\{30\times 1,30\times 2,\ldots,30\times 3\}
\end{align*}
したがって，
\[
n(A)=50,n(B)=33,n(C)=20,
\]
\[
n(A\cap B)=16,n(B\cap C)=6,n(C\cap A)=10,n(A\cap B\cap C)=3
\]
ゆえに，
\begin{align*}
n(A\cup B\cup C)=&n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)\\
&+n(A\cap B\cap C)\\
=&50+33+20-16-6-10+3=74
\end{align*}
よって，2でも3でも5でも割り切れない整数の集合は，$\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}=\overline{A\cup B\cup C}$であるから，求める個数は，
\[
n(\overline{A\cup B\cup C})=n(U)-n(A\cup B\cup C)=100-74=26\text{(個)}
\]
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