% 例題A1.1.3：3つの集合の要素の個数 （One More）★★★
80人の顧客に対して,講座A,講座B,講座Cの受講状況を調査したところ,講座Aを受講している顧客は46人,講座Bを受講している顧客は34人,講座Cを受講している顧客は38人であり,講座Aと講座Bの両方を受講している顧客は15人,講座Bと講座Cの両方を受講している顧客は17人,講座Cと講座Aの両方を受講している顧客は14人であった.このとき,次の場合の人数を求めよ.ただし,3つの講座すべてを受講していない顧客はいないものとする. (1)3つの講座すべてを受講している顧客 (2)講座Aだけを受講している顧客
% 解答（例題A1.1.3）
80人の顧客全体の集合を$U$とし,講座A,講座B,講座Cを受講している顧客の集合をそれぞれ$A,B,C$とすると,3つの講座すべてを受講している顧客の集合は$A \cap B \cap C$である.$$\begin{aligned} & n(U)=80,n(A)=46,n(B)=34,n(C)=38,\\ & n(A \cap B)=15,n(B \cap C)=17,n(C \cap A)=14 \end{aligned}$$であり,3つの講座すべてを受講していない顧客はいないので,$$n(\overline{A \cup B \cup C})=0,n(A \cup B \cup C)=n(U)=80$$したがって,$$\begin{aligned} n(A \cup B \cup C)=& n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)\\ &+n(A \cap B \cap C) \end{aligned}$$であるから,$80=46+34+38-15-17-14+n(A \cap B \cap C)$よって,$n(A \cap B \cap C)=8$より,3つの講座すべてを受講しているのは8（人） (2)講座Aだけ受講している顧客の集合は$A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$であるから,$$\begin{aligned} & n(A \cap \overline{B} \cap \overline{C})\\ =& n(A \cup B \cup C)-n(B \cup C)\\ =& n(A \cup B \cup C)-\{n(B)+n(C)-n(B \cap C)\} \\ =& 80-(34+38-17)=25\end{aligned}$$よって,講座Aだけを受講しているのは25（人）
% 問題A1.1.3
1から100までの整数のうち,2でも3でも5でも割り切れない整数の個数を求めよ.
% 解答A1.1.3
1から100までの整数の集合を全体集合$U$とし,2の倍数,3の倍数,5の倍数の集合をそれぞれ,$A,B,C$とすると,$$\begin{aligned} & A=\{2 \times 1,2 \times 2,\ldots,2 \times 50\},\\ & B=\{3 \times 1,3 \times 2,\ldots,3 \times 33\},\\ & C=\{5 \times 1,5 \times 2,\ldots,5 \times 20\},\\ & A \cap B=\{6 \times 1,6 \times 2,\ldots,6 \times 16\},\\ & B \cap C=\{15 \times 1,15 \times 2,\ldots,15 \times 6\},\\ & C \cap A=\{10 \times 1,10 \times 2,\ldots,10 \times 10\},\\ & A \cap B \cap C=\{30 \times 1,30 \times 2,\ldots,30 \times 3\} \end{aligned}$$したがって,$$n(A)=50,n(B)=33,n(C)=20,$$$$n(A \cap B)=16,n(B \cap C)=6,n(C \cap A)=10,n(A \cap B \cap C)=3$$ゆえに,$$\begin{aligned} n(A \cup B \cup C)=& n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)\\ &+n(A \cap B \cap C)\\ =& 50+33+20-16-6-10+3=74 \end{aligned}$$よって,2でも3でも5でも割り切れない整数の集合は,$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\overline{A \cup B \cup C}$であるから,求める個数は,$$n(\overline{A \cup B \cup C})=n(U)-n(A \cup B \cup C) =100-74=26 (\text{個})$$
