% 例題A1.1.4：集合の要素の個数の最大・最小 （One More）★★★
集合$U$とその部分集合$A,B$に対して,$n(U)=120,n(A)=70,n(B)=55$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)$n(A \cap B)$の最大値 (2)$n(A \cap B)$の最小値
% 解答（例題A1.1.4）
$$n(A \cap B)=n(A)+n(B)-n(A \cup B) =70+55-n(A \cup B) =125-n(A \cup B)$$(1)$n(A)>n(B)$であるから,$n(A \cup B)$が最小となるのは$A \supset B$のときである. したがって,右の図より,$$n(A \cup B)=n(A)=70$$よって,$n(A \cap B)$の最大値は,$125-70=55$(2)$n(A)+n(B)>n(U)$であるから,$n(A \cup B)$が最大となるのは$A \cup B=U$のときである. したがって,右の図より,$$n(A \cup B)=n(U)=120$$よって,$n(A \cap B)$の最小値は,$125-120=5$
% 問題A1.1.4
集合$U$とその部分集合$A,B$に対して,$n(U)=200,n(A)=90,n(B)=120$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)$n(A \cap B)$の最大値 (2)$n(A \cap B)$の最小値
% 解答A1.1.4
$$n(A \cap B)=n(A)+n(B)-n(A \cup B) =90+120-n(A \cup B) =210-n(A \cup B)$$(1)$n(B)>n(A)$であるから,$n(A \cup B)$が最小となるのは$B \supset A$のときである. したがって,右の図より,$n(A \cup B)=n(B)=120$よって,$n(A \cap B)$の最大値は,$210-120=90$(2)$n(A)+n(B)>n(U)$であるから,$n(A \cup B)$が最大となるのは$A \cup B=U$のときである. したがって,右の図より,$n(A \cup B)=n(U)=200$よって,$n(A \cap B)$の最小値は,$210-200=10$
