【数学A】例題1.2.1：0を含む数字の順列（One More）★★

% 例題A1.2.1：0を含む数字の順列 （One More）★★
$0,1,2,3,4,5$の6個の数字の中から異なる4個の数字を選んで4桁の整数を作る.このとき,次のような数の個数を求めよ. (1)すべての整数 (2)偶数 (3)3の倍数

% 解答（例題A1.2.1）
(1)千の位の数字は0以外の数であるから,5通り そのそれぞれについて,百,十,一の位に0を含めた残りの5個の数字から3個を選んで並べると,4桁の整数となる. よって,求める個数は,$5 \times{ }_5 \mathrm{P}_3=5 \times(5 \times 4 \times 3)=300(\text{個})$(2)4桁の整数が偶数となるから,一の位は$0,2,4$である. (i)一の位が0のとき 千,百,十の位に残りの5個の数字から3個を選んで並べればよいので,その個数は,${ }_5 \mathrm{P}_3=5 \times 4 \times 3=60(\text{{個}})$(ii)一の位が2または4のとき 一の位は2,4の2通りあり,そのそれぞれについて,千の位は0以外で一の位の数字を除く4通りある.百と十の位は残りの4個の数字から2個を選んで並べればよいので,その個数は,$2 \times 4 \times{ }_4 \mathrm{P}_2=96(\text{{個}})$よって,(i),(ii)より,求める個数は,$60+96=156(\text{個})$(3)3の倍数となるのは,各位の数の和が3の倍数のときである.その4個の数の組は,$\{0,1,2,3\},\{0,1,3,5\},\{0,2,3,4\},\{0,3,4,5\},\{1,2,4,5\}$の5つの場合がある. (i)選んだ4個の数に0を含むとき$\{0,1,2,3\},\{0,1,3,5\},\{0,2,3,4\},\{0,3,4,5\}$の4組があり,それぞれの組でできる4桁の整数は,千の位は0ではないから,$3 \times 3!=18(\text{{個}})$よって,$4 \times 18=72(\text{{個}})$(ii)選んだ4個の数に0を含まないとき$\{1,2,4,5\}$の1組があり,この4個の数でできる4桁の整数は,$4!=24(\text{{個}})$よって,(i),(ii)より,求める個数は,$72+24=96(\text{個})$

% 問題A1.2.1
$0,1,2,3,4$の5個の数字の中から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る.このとき,次のような数の個数を求めよ. (1)すべての整数 (2)奇数 (3)3の倍数

% 解答A1.2.1
(1)百の位の数字は0以外の数であるから,4通り そのそれぞれについて,十,一の位に0を含めた残りの4個の数字から2個を選んで並べると,3桁の整数となる. よって,求める個数は,$4 \times{ }_4 \mathrm{P}_2=4 \times(4 \times 3)=48(\text{個})$(2)3桁の整数が奇数となるから,一の位は$1,3$であり,そのそれぞれについて,百の位は0以外で一の位の数字を除く数であるから,3通り 十の位の数字の選び方は3通りあるから,$$2\times 3\times 3=18(\text{個})$$(3)3の倍数となるのは,各位の数の和が3の倍数のときである.その3個の数の組は,$\{0,1,2\},\{0,2,4\},\{1,2,3\},\{2,3,4\}$の4つの場合がある. (i)選んだ3個の数に0を含むとき$\{0,1,2\},\{0,2,4\}$の2組があり,それぞれの組でできる3桁の整数は,百の位は0でないから,$2 \times 2!=4(\text{{個}})$よって,$2\times 4=8(\text{{個}})$(ii)選んだ3個の数に0を含まないとき$\{1,2,3\},\{2,3,4\}$の2組があり,この3個の数でできる3桁の整数は,$3!=6(\text{{個}})$よって,$2\times 6=12(\text{{個}})$よって,(i),(ii)より,求める個数は,$8+12=20(\text{個})$