【数学A】例題1.2.2：条件付きの順列1（One More）★★

% 例題A1.2.2：条件付きの順列1 （One More）★★
大人4人,子供3人の合計7人が1列に並ぶ.このとき,次の条件を満たす並び方は何通りあるか. (1)子供3人が隣り合う (2)子供3人ともが隣り合わない

% 解答（例題A1.2.2）
(1)子供3人をひとまとまりにして1人として考え,大人4人と合わせた5個の並び方は,$$5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 (\text{通り})$$そのそれぞれについて,1人として考えた子供3人の並び方は,$3!=6(\text{通り})$よって,子供3人が隣り合う並び方は,$$120 \times 6=720 (\text{通り})$$(2)大人4人の並び方は,$4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24(\text{通り})$大人4人の間と両端の5箇所のうち,3箇所に子供3人が1人ずつ入ればよい. したがって,5箇所から3箇所選んで並べる順列であるから,$${ }_5 \mathrm{P}_3=5 \cdot 4 \cdot 3=60 (\text{通り})$$よって,子供3人とも隣り合わない並び方は,$24 \times 60=1440 (\text{通り})$

% 問題A1.2.2
男子5人,女子2人の合計7人が1列に並ぶ.このとき,次の条件を満たす並び方は何通りあるか. (1)女子2人が隣り合う (2)女子2人ともが隣り合わない

% 解答A1.2.2
(1)女子2人をひとまとまりにして1人として考え,男子5人と合わせた6個の並び方は,$$6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720 (\text{通り})$$そのそれぞれについて,1人として考えた女子2人の並び方は,$2!=2$（通り） よって,女子2人が隣り合う並び方は,$$720 \times 2=1440 (\text{通り})$$(2)男子5人の並び方は,$5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120(\text{通り})$男子5人の間と両端の6箇所のうち,2箇所に女子2人が1人ずつ入ればよい. したがって,6箇所から2箇所選んで並べる順列であるから,$${ }_6 \mathrm{P}_2=6 \cdot 5=30 (\text{通り})$$よって,女子2人とも隣り合わない並び方は,$120 \times 30=3600 (\text{通り})$