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【数学A】例題1.2.3:条件付きの順列2(One More)★★

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% 例題A1.2.3:条件付きの順列2 (One More)★★
大人5人,子供3人の合計8人が1列に並ぶ.このとき,次の条件を満たす並び方は何通りあるか. (1)並び方の総数 (2)両端が大人である (3)少なくとも一方の端が子供である

% 解答(例題A1.2.3)
(1)8人が1列に並ぶ順列であるから,並び方の総数は,$${ }_8 \mathrm{P}_8=8!=8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=40320 (\text{通り})$$(2)両端が大人である並び方は,${ }_5 \mathrm{P}_2=5 \cdot 4=20(\text{通り})$残りの6人を並べる順列は,$6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720(\text{通り})$よって,両端が大人である並び方は,$$20 \times 720=14400 (\text{通り})$$(3)少なくとも一方の端が子供である並び方は,全体から両端が大人である並び方を引いたものである. よって,(1),(2)より,少なくとも一方の端が子供である並び方は,$$40320-14400=25920 (\text{通り})$$

% 問題A1.2.3
男性4人,女性4人の合計8人が1列に並ぶ.このとき,次の条件を満たす並び方は何通りあるか. (1)並び方の総数 (2)両端が男性である (3)少なくとも一方の端が女性である

% 解答A1.2.3
(1)8人が1列に並ぶ順列であるから,並び方の総数は,$${ }_8 \mathrm{P}_8=8!=8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=40320 (\text{通り})$$(2)両端が男性である並び方は,${ }_4 \mathrm{P}_2=4 \cdot 3=12(\text{通り})$残りの6人を並べる順列は,$6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720(\text{通り})$よって,両端が男性である並び方は,$$12 \times 720=8640 (\text{通り})$$(3)少なくとも一方の端が女性である並び方は,全体から両端が男性である並び方を引いたものである. よって,(1),(2)より,少なくとも一方の端が女性である並び方は,$$40320-8640=31680 (\text{通り})$$

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