問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A1.2.8：部屋割りの問題（One More）★★★
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4人が$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$の3つの部屋に入るとき，次の場合のような入り方は何通りあるか．
(1) 空き部屋があってもよい場合
(2) 空き部屋がないようにする場合
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% 例題A1.2.8の解答（One More）★★★
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(1) 4人それぞれが部屋に入る入り方は，A，B，Cの3通りずつあるから，
\[
3^4=81(\text{通り})
\]
(2) (1)で求めた総数から，空き部屋の数が2つまたは1つとなる場合を除けばよい．
(i) 空き部屋が2つのとき
空き部屋が2つとなるのは，AかBかCの1つの部屋に4人全員が入るときであるから，3通り
(ii) 空き部屋が1つのとき
空き部屋が1つとなるとき，空き部屋となる部屋の選び方は，3通り
そのそれぞれについて，4人の2つの部屋への入り方は，$2^4$通り
このうち，1つの部屋に全員が入るときが2通りあるから，1つの部屋だけが空き部屋になる分け方は，
\[
3\times(2^4-2)=42(\text{通り})
\]
よって，(1)と(i)，(ii)より，求める入り方は，
\[
81-(3+42)=36(\text{通り})
\]
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% 問題A1.2.8：部屋割りの問題（One More）★★★
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5人が$\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}$の3つの部屋に入るとき，次の場合のような入り方は何通りあるか．
(1) 空き部屋があってもよい場合
(2) 空き部屋がないようにする場合
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% 問題A1.2.8の解答（One More）★★★
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(1) 5人それぞれが部屋に入る入り方は，X，Y，Zの3通りずつあるから，
\[
3^5=243(\text{通り})
\]
(2) (1)で求めた総数から，空き部屋の数が2つまたは1つとなる場合を除けばよい．
(i) 空き部屋が2つのとき
空き部屋が2つとなるのは，XかYかZの1つの部屋に5人全員が入るときであるから，{3}通り
(ii) 空き部屋が1つのとき
空き部屋が1つとなるとき，空き部屋となる部屋の選び方は，{3}通り
そのそれぞれについて，5人の2つの部屋への入り方は，$2^5$通り
このうち，1つの部屋に全員が入るときが2通りあるから，1つの部屋だけが空き部屋になる分け方は
\[
{3}\times(2^5-2)={90}(\text{通り})
\]
よって，(1)と(i)，(ii)より，求める入り方は，
\[
243-({3}+{90})=150(\text{通り})
\]
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