問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A1.2.13：正多角形と組合せ（One More）★★
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正八角形について，次のものを求めよ．
(1) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち，正八角形と1辺だけを共有するものの個数
(2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち，正八角形と辺を共有しないものの個数
(3) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち，直角三角形となるものの個数
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% 例題A1.2.13の解答（One More）★★
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(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形は，各辺に対して，その辺の両端および両隣の2個の頂点を除く頂点の選び方が4通りずつあるから，求める三角形の個数は，
\[
8\times 4=32(\text{個})
\]
(2) 正八角形の8個の頂点から3点を選んでできる三角形の総数は，${}_8\mathrm{C}_3$個
正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数は，(1)より，32個
正八角形と2辺を共有する三角形の個数は，隣り合う3個の頂点を選ぶとできるから，8個
したがって，求める三角形の個数は，
\[
{}_8\mathrm{C}_3-(32+8)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}-40=16(\text{個})
\]
(3) 向かい合う2個の頂点と，残りの6個の頂点から1個を選ぶと，直角三角形が1個できる．
向かい合う2個の頂点は4組あるから，求める直角三角形の個数は，
\[
4\times 6=24(\text{個})
\]
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% 問題A1.2.13：正多角形と組合せ（One More）★★
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正十二角形について，次のものを求めよ．
(1) 対角線の本数
(2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち，二等辺三角形となるものの個数
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% 問題A1.2.13の解答（One More）★★
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(1) 正十二角形の12個の頂点から2個の頂点を選び，その2点を結ぶと線分が1本できる．2個の頂点の選び方は，${}_{12}\mathrm{C}_2$通り
このうち，正十二角形の辺であるものは12本あるから，これらを除いたものが対角線の本数である．よって，求める対角線の本数は，${}_{12}\mathrm{C}_2-12=54\text{(本)}$
(2)
(i) 正三角形ではない二等辺三角形の個数
1個の頂点を選び，向かい合う頂点を結んだ線分を対称軸として，対称である2個の頂点と選んだ1個の頂点を結ぶと2等辺三角形が1個できる．
1個の頂点に対して5組の対称な点の組み合わせがあり，正三角形となる組み合わせが1組あるから，その個数は，$4\times 12=48\text{(個)}$
(ii) 正三角形の個数
正十二角形の頂点を順に$\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\ldots,\mathrm{A}_{12}$とすると，3個の頂点を結んでできる正三角形は，$\triangle\mathrm{A}_1\mathrm{A}_5\mathrm{A}_9,$ $\triangle\mathrm{A}_2\mathrm{A}_6\mathrm{A}_{10},$ $\triangle\mathrm{A}_3\mathrm{A}_7\mathrm{A}_{11},$ $\triangle\mathrm{A}_4\mathrm{A}_8\mathrm{A}_{12}$の4個である．
よって，(i)，(ii)より，求める二等辺三角形の総数は$48+4=52\text{(個)}$
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