% 例題A1.2.13：正多角形と組合せ （One More）★★
正八角形について,次のものを求めよ. (1)正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数 (2)3個の頂点を結んでできる三角形のうち,正八角形と辺を共有しないものの個数 (3)3個の頂点を結んでできる三角形のうち,直角三角形となるものの個数
% 解答（例題A1.2.13）
(1)正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺に対して,その辺の両端および両隣の2個の頂点を除く頂点の選び方が4通りずつあるから,求める三角形の個数は,$$8 \times 4=32(\text{個})$$(2)正八角形の8個の頂点から3点を選んでできる三角形の総数は,${ }_8 \mathrm{C}_3$個 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数は,(1)より,32個 正八角形と2辺を共有する三角形の個数は,隣り合う3個の頂点を選ぶとできるから,8個 したがって,求める三角形の個数は,$${ }_8 \mathrm{C}_3-(32+8)=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}-40=16(\text{個})$$(3)向かい合う2個の頂点と,残りの6個の頂点から1個を選ぶと,直角三角形が1個できる. 向かい合う2個の頂点は4組あるから,求める直角三角形の個数は,$$4 \times 6=24(\text{個})$$
% 問題A1.2.13
正十二角形について,次のものを求めよ. (1)対角線の本数 (2)3個の頂点を結んでできる三角形のうち,二等辺三角形となるものの個数
% 解答A1.2.13
(1)正十二角形の12個の頂点から2個の頂点を選び,その2点を結ぶと線分が1本できる. 2個の頂点の選び方は,${}_{12}\mathrm{C}_2$通り このうち,正十二角形の辺であるものは12本あるから,これらを除いたものが対角線の本数である. よって,求める対角線の本数は,${}_{12}\mathrm{C}_2-12=54 (\text{本})$(2) (i)正三角形でない二等辺三角形の個数 1個の頂点を選び,向かい合う頂点を結んだ線分を対称軸として,対称である2個の頂点と選んだ1個の頂点を結ぶと2等辺三角形が1個できる. 1個の頂点に対して5組の対称な点の組み合わせがあり,正三角形となる組み合わせが1組あるから,その個数は,$4 \times 12=48 (\text{個})$(ii)正三角形の個数 正十二角形の頂点を順に$\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\ldots,\mathrm{A}_{12}$とすると,3個の頂点を結んでできる正三角形は,$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_9,$$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_6 \mathrm{A}_{10},$$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_7 \mathrm{A}_{11},$$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_8 \mathrm{A}_{12}$の4個である. よって,(i),(ii)より,求める二等辺三角形の総数は$48+4=52 (\text{個})$
