% 例題A1.2.16：一部の文字の順序が定められた順列 （One More）★★
$\mathrm{holiday}$のすべての文字を1列に並べるとき,次の問いに答えよ. (1)$\mathrm{o},\mathrm{i},\mathrm{a}$がこの順で現れる並び方は何通りあるか. (2)$\mathrm{h}$が$\mathrm{l}$より左に,$\mathrm{d}$が$\mathrm{y}$より右に現れる並び方は何通りあるか.
% 解答（例題A1.2.16）
(1)$\mathrm{o},\mathrm{i},\mathrm{a}$をすべて$\mathrm{X}$とおき,$\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{h},\mathrm{l},\mathrm{d},\mathrm{y}$の7文字を1列に並べる順列の総数を求めればよい. よって,求める総数は,$$\frac{7!}{3!}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1}=840(\text{通り})$$別解：7文字が入る7つの場所を考えて,o,i,aが入る場所をXとし,h,l,d,yが入る場所をYとする. X,X,X,Y,Y,Y,Yの並び方の総数は,$\frac{7!}{3!4!}=35(\text{通り})$Xにはo,i,aが順番に入るから,1通りであり,Yにはh,l,d,yが入るから,その順列は$4!=24(\text{通り})$よって,求める総数は,$35 \times 1\times 24=840(\text{通り})$(2)$\mathrm{h},\mathrm{l}$を$\mathrm{X}$とおき,$\mathrm{d},\mathrm{y}$を$\mathrm{Y}$とおく.$\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Y},\mathrm{o},\mathrm{i},\mathrm{a}$の7文字を1列に並べる順列の総数を求めればよい. よって,求める総数は,$$\frac{7!}{2!2!}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}=1260(\text{通り})$$
% 問題A1.2.16
$\mathrm{sunlight}$のすべての文字を1列に並べるとき,次の問いに答えよ. (1)$\mathrm{s},\mathrm{u},\mathrm{n}$がこの順で現れる並び方は何通りあるか. (2)$\mathrm{s}$が$\mathrm{t}$より左に,$\mathrm{g}$が$\mathrm{h}$より右に現れる並び方は何通りあるか.
% 解答A1.2.16
(1)$\mathrm{s},\mathrm{u},\mathrm{n}$をすべて$\mathrm{X}$とおき,$\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{l},\mathrm{g},\mathrm{h},\mathrm{i},\mathrm{t}$の8文字を1列に並べる順列の総数を求めればよい. よって,求める総数は,$$\frac{8!}{3!}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1}=6720(\text{通り})$$別解：8文字が入る8つの場所を考えて,$\mathrm{s},\mathrm{u},\mathrm{n}$が入る場所を$\mathrm{X}$とし,$\mathrm{l},\mathrm{i},\mathrm{g},\mathrm{h},\mathrm{t}$が入る場所を$\mathrm{Y}$とする.$\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Y},\mathrm{Y},\mathrm{Y},\mathrm{Y}$の並び方の総数は,$\frac{8!}{3!5!}=56(\text{通り})$$\mathrm{X}$には$\mathrm{s},\mathrm{u},\mathrm{n}$が順番に入るから,1通りであり,$\mathrm{Y}$には$\mathrm{l},\mathrm{i},\mathrm{g},\mathrm{h},\mathrm{t}$が入るから,その順列は$5!=120(\text{通り})$よって,求める総数は,$56 \times 1\times 120=6720(\text{通り})$(2)$\mathrm{s},\mathrm{t}$を$\mathrm{X}$とおき,$\mathrm{g},\mathrm{h}$を$\mathrm{Y}$とおく.$\mathrm{X},\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Y},\mathrm{u},\mathrm{n},\mathrm{l},\mathrm{i}$の8文字を1列に並べる順列の総数を求めればよい. よって,求める総数は,$$\frac{8!}{2!2!}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}=10080(\text{通り})$$
