% 例題A1.2.20：同じものを含む円順列・数珠順列 （One More）★★★
赤玉4個,白玉2個,青玉1個の合計7個の玉がある.このとき,次の問いに答えよ. (1)これらの玉を1列に並べる方法は何通りあるか. (2)これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか. (3)これらの玉にひもを通し,首飾りを作る方法は何通りあるか.
% 解答（例題A1.2.20）
(1)$\frac{7!}{4!2!}=105(\text{通り})$(2)7個の玉を円形に並べる総数は,1個の青玉を固定すると,赤玉4個,白玉2個を1列に並べる順列の総数と一致するから,$$\frac{6!}{4!2!}=15(\text{通り})$$(3)(2)の順列のうち,左右対称であるものは,青玉を中心として片側に赤玉2個,白玉1個を1列に並べる順列の総数と一致するから,$$\frac{3!}{2!}=3 (\text{通り})$$したがって,左右対称ではないものは,$15-3=12(\text{通り})$このうち,首飾りを作ったとき,左右対称ではないものは裏返すと同じものが2つずつできるから,$\frac{12}{2}=6(\text{通り})$よって,求める首飾りの総数は,$3+6=9(\text{通り})$
% 問題A1.2.20
青玉6個,赤玉2個,白玉1個の合計9個の玉がある.このとき,次の問いに答えよ. (1)これらの玉を1列に並べる方法は何通りあるか. (2)これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか. (3)これらの玉にひもを通し,首飾りを作る方法は何通りあるか.
% 解答A1.2.20
(1)$\frac{9!}{6!2!}=252(\text{通り})$(2)9個の玉を円形に並べる総数は,1個の白玉を固定すると,青玉6個,赤玉2個を1列に並べる順列の総数と一致するから,$$\frac{8!}{6!2!}=28(\text{通り})$$(3)(2)の順列のうち,{左右対称であるもの}は,白玉を中心として片側に青玉3個,赤玉1個を1列に並べる順列の総数と一致するから,$$\frac{4!}{3!}=4 (\text{通り})$$したがって,{左右対称ではないもの}は,$28-4=24(\text{通り})$このうち,首飾りを作ったとき,左右対称ではないものは裏返すと{同じものが2つずつできる}から,$\frac{24}{{2}}=12(\text{通り})$よって,求める首飾りの総数は,$4+12=16(\text{通り})$
